2010/2011

Ly ée La Bruyère, Versailles ECS 2

 Mathématiques

Analyse 6  Fon tions de plusieurs variables : al ul diérentiel Exer i e 1  Domaine de dénition et existen e d'une limite en (0, 0) des fon tions f : R2 → R

dénies par :

x3

y3

a) f (x, y) =

+ x2 + y 2

d) f (x, y) =

sin x − shy shx − sin y

g) f (x, y) =

(x + y)2 x2 + y 2

b) f (x, y) =

(1 +

x2

+ y

y 2 ) sin y

e) f (x, y) = xy

h) f (x, y) = x sin

f ) f (x, y) = 1 p

x2 + y 2

Exer i e 2  Étudier la ontinuité des fon tions f : C 1.

dérivées partielles et le ara tère  3 3  x −y si (x, y) 6= (0, 0) a) f (x, y) = x2 + y 2  si (x, y) = (0, 0); 0

c) f (x, y) =

(

x2 si |x| > y y 2 si |x| 6 y;

xy |x| + |y| e) f (x, y) =  0  

si (x, y) 6= (0, 0)

si (x, y) = (0, 0);

!

R2

xc + y d x x2 + y 2

  x sin y − y sin x x2 + y 2 b) f (x, y) =  0

f ) f (x, y) =

xy x+y  0

sin

1 p

x2 + y 2

si (x, y) 6= (0, 0)

si (x, y) = (0, 0);

si (x, y) 6= (0, 0)

si (x, y) = (0, 0); si (x, y) 6= (0, 0)

si (x, y) = (0, 0);

F (x, y, z) = f (x − y, y − z, z − x). ∂F ∂F ∂F + + . ∂x ∂y ∂z

Exer i e 4  Soit f et g deux fon tions de lasse C 2 sur un ouvert Ω de Rn . Cal uler les dérivées partielles d'ordre 1 et 2 de f g en fon tion des dérivées partielles de f et de g.

si |x| 6 y 2 et y 6= 0 si x 6 −y 2 .

note :

∀(x, y) ∈ R2 , g(x, y) = f (u(x, y), v(x, y)). Déterminer les dérivées partielles premières et se ondes de g en fon tion de elles de f , u et v .

F (x, y) = sup fx,y (t).

1. Cal uler F (x, y).

t∈[−1,1]

2. Étudier la ontinuité de F sur

R2 .

  f (x) − f (y) et g : → R dénie par : g(x, y) = Exer i e 9  Soit f : R → R de lasse x−y  ′ f (x) Le but de l'exer i e est de montrer que g est de lasse C 1 sur R2 . Soit x0 ∈ R. C 2,

R2

si x 6= y

si x = y.

1. Montrer que la limite de g lorsque (x, y) tend vers (x0 , x0 ), ave x 6= y , est f ′ (x0 ) (ind. : TAF). En déduire que g est ontinue sur R2 . g(x0 + h, x0 ) − g(x0 , x0 ) 2. Pour h ∈ R∗ , exprimer en fon tion de f . h Déterminer la limite de ette expression à l'aide d'une formule du ours. ∂g (x, y) en fon tion de (x, y), et déterminer sa limite. 3. Pour x 6= y al uler ∂x En déduire que g est de lasse C 1 sur R2 .

Exer i e 10  Soit f : Ω → R de lasse C 1 sur un ouvert onvexe Ω de Rn .

1. On suppose que, pour tout X ∈ Ω, ∇fX = 0. Montrer que f est onstante.

2. On suppose que l'appli ation X 7→ ∇fX est onstante sur Ω. Montrer que f est ane, 'est-àdire qu'il existe un réel b tel f − b soit une forme linéaire. On remarquera que b est for ément égal à f (0).

Exer i e 11  Soit f : Ω → R de lasse C 2 sur un ouvert Ω de Rn . On pose ∆f = que si u, v : Ω → R sont deux fon tions de lasse C 2 , on a

n X ∂2f . Montrer ∂xi 2 i=1

∆(uv) = u∆v + 2 h∇u, ∇vi + v∆u.

Exer i e 5  Soient f, u, v : R2 → R des fon tions de lasse C 2 et g dénie sur R2 par :

Exer i e 12  Soit U un ouvert de R2 , et f : U → R de lasse C 2 . On appelle lapla ien de f la fon tion

∆f =

∂2f ∂2f + 2. 2 ∂x ∂y

On dit que f est harmonique si ∆f = 0. 1

si x > y 2

Exer i e 8  Pour tout (x, y) ∈ R2 , on dénit fx,y : [−1, 1] −→ R par fx,y (t) = xt2 + yt, et on !

Exer i e 3  Soit f : R3 → R de lasse C 1 , et F = R3 → R dénie par :

Cal uler

R2 .

sur l'ouvert Rn \{0Rn }. Déterminer

∀(x, x′ , y) ∈] − α, α[×] − α, α[×] − β, β[, |f (x, y) − f (x′ , y)| 6 A|x − x′ |.

→ R i-dessous. Étudier l'existen e des

 

1. Montrer que f est ontinue sur

xa y b

i) f (x, y) = p

  y 2 sin x y d) f (x, y) =  0

X est de lasse C 1 kXk2 son développement limité d'ordre 1 au voisinage de X0 .  2y    2x Exer i e 7  Soit f la fon tion dénie par : f (x, y) =  y   −2y

2. Montrer qu'il n'existe au un (A, α, β) ∈ R × R∗+ × R∗+ tel que :

xy x+y

c) f (x, y) =

Exer i e 6  Montrer que la fon tion X 7→

2

1. Pour (x, y) ∈ R2 , soit z = x + iy , et f (x, y) = ln |eze |. Montrer que f est harmonique sur R2 . ∂f ∂f ∂f ∂f 2. Soit f une fon tion de lasse C 3 , harmonique sur U . Montrer que −x , et y sont ∂x ∂y ∂x ∂y harmoniques. x 3. Montrer que la fon tion dénie par f (x, y) = Arctan est harmonique sur R∗ × R. y −z

 2 2  xy(x − y ) si (x, y) 6= (0, 0) 2 Exer i e 13  Soit f : R → R dénie par : f (x, y) = x2 + y 2  si (x, y) = (0, 0). 0 ∂2f ∂2f ∂2f ∂2f (0, 0) et (0, 0). Les dérivées partielles se ondes Comparer et sont-elles onti∂x∂y ∂y∂x ∂x∂y ∂y∂x nues ?

Exer i e 14  Plan tangent en (0, 0) des fon tions suivantes (éventuellement prolongées par ontinuité) : 1. f (x, y) = 1 + x −

p

1+x−y 1 2. f (x, y) = p . 2 + x + ln(1 + y)

1 . 1 + cos(x + y) sin(x + y) − sin x − sin y . 4. f (x, y) = xy 3. f (x, y) = p

Exer i e 15  Développement limité à l'ordre 2 en A des fon tions suivantes dénies sur R2 : 1. f (x, y) = sin(x + 2y), A = (0, 0) 2. f (x, y) =

1 , 1+x2 +y 2

A = (0, 0)

1. f (x, y) = e−x

2 −y 2

2+x y 2+y x

Exer i e 17  Formule de Taylor-Young

(a) Montrer que pour tout n ∈ N, an+1 6 kan . P an est onvergente.

(b) Montrer que la série

( ) Montrer que la suite (un ) est onvergente.

3. Montrer que la limite (un ) est indépendante du ouple (α, β).

Exer i e 19  On se propose de déterminer fon tions f de lasse C ∞ sur R∗+ telles que la fon tion  les  2

2

G dénie sur (R∗+ )3 par G(x, y, z) = f x z+y ait un lapla ien nul sur (R∗+ )3 , le lapla ien de G 2 étant la fon tion dénie là où ela est possible par ∆G =

∂2G ∂2G ∂2G + + . ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

√ 1. Soit f une solution du problème, montrer alors que la fon tion u 7→ u 1 + uf ′ (u) est onstante sur R∗+ , et déterminer f . 2. Déterminer deux réels a et b tels que :

y2

(x + y)2 x2 (x + y)2

1. Montrer par ré urren e sur n la formule de Taylor-Young à l'ordre n pour les fon tions de deux variables : si f : R2 → R est de lasse C n au voisinage de (0, 0), alors : ! n X X ∂k f xi y j x n · (0, 0) + o(kXk ), f (X) = où X = . i!j! ∂xi ∂y j y k=0 i+j=k

2. Soit f : R2 → R admettant un développement limité à l'ordre n au voisinage de (0, 0). Montrer que e développement est unique. 3. Déterminer ave un minimum de al uls les dérivées partielles su

essives d'ordre inférieur ou égal à 15 de f dénie par f (x, y) = Arctan(x2 y).

Exer i e 18  Soit a un réel stri tement positif. On note I =] − a, a[. On onsidère une appli ation

f : I 2 → I de lasse C 1 sur I . On suppose qu'il existe un réel k ∈ [0, 1[ tel que pour tout (x, y) ∈ I 2 , ∂f (x, y) + ∂f (x, y) 6 k. ∂y ∂x

1. Soient (x, y) et (x′ , y ′ ) deux ouples de I 2 . En utilisant la formule des a

roissements nis, montrer que |f (x, y) − f (x′ , y ′ )| 6 k max(|x − x′ |, |y − y ′ |).

a b 1 = + . t2 − 1 t−1 t+1

∀t ∈ R \ {−1, 1},

2

3

∀n ∈ N, un+2 = f (un+1 , un ).

Pour n ∈ N, on pose an = max(|un+2 − un+1 |, |un+1 − un |).

2. f (x, y) = ex cos y, A = (1, 0)

∂f   (x, y) =  ∂x 2. ∂f    (x, y) = ∂y

et

u0 = α, u1 = β

cos(xy), A = (0, 0)

Exer i e 16  Déterminer les fon tions f : D → R , où D est un ouvert à déterminer, vériant :  ∂f   (x, y) = ∂x 1. ∂f   (x, y) = ∂y

2. Soient (α, β) ∈ I 2 et (un )n∈N∗ la suite dénie par :

En déduire, pour tout y > 0, la valeur de 3. Con lure.

Z

y 3

dx √ . x 1+x

Exer i e 20  Soient f et g deux fon tions de lasse C 2 sur R. On pose Ω = {(x, y) ∈ R2 | y > 0}.     1 1 On note F la fon tion dénie sur Ω par : F (x, y) = f x + +g x− . y y 1. Montrer que Ω est un ouvert. 2. Montrer que F est de lasse C 2 sur Ω, et que ses dérivées partielles vérie l'équation (E) suivante : ∂2F ∂2F ∂F = 0. − y 4 2 − 2y 3 2 ∂x ∂y ∂y 3. Ré iproquement, soit F une fon tion de lasse C 2 sur Ω solution de (E). On pose U = {(u, v) ∈ R2 | u > v}.

On dénit sur U la fon tion G par : G(u, v) = F (a) Justier que U est un ouvert.



2 u+v , 2 u−v



.

∂2G = 0. ∂v∂u ( ) En déduire l'existen e de deux fon tions f et g de lasse C 2 sur R telles que :     1 1 +g x− . ∀(x, y) ∈ Ω, F (x, y) = f x + y y

(b) Montrer que G est de lasse C 2 sur U , et que

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