Apport des modèles aléatoires de champ pour caractériser le couplage en chambre réverbérante à brassage de modes Interest of statistical field models for the characterization of the coupling inside reverberation chambers *,**

*

Cécile Fiachetti - Alain Reineix - Bastiaan Michielsen * ** ONERA - DEMR - Toulouse - I.R.C.O.M. - Limoges

**

Résumé Les chambres réverbérantes à brassage de modes (CRBM) permettent de qualifier rapidement les propriétés statistiques de la susceptibilité (le couplage) d’équipements électroniques. Pour que le test soit complet, une CRBM idéale doit générer un champ statistiquement homogène et isotrope. Or, dans une telle cavité aux configurations géométriques changeantes, on a seulement accès au couplage sur les systèmes. C’est pourquoi l’analyse de ce couplage est proposée. Elle nous amène à modéliser de façon aléatoire le champ de la CRBM ainsi qu’à caractériser les propriétés de diffraction de la CRBM. Abstract The Reverberation Chambers (Mode Tuned chambers MTC) are a fast way to qualify the statistical probabilities of the susceptibility (coupling) of electronic equipments. In order to have a exhaustive test, an ideal MTC may produce a statistical isotropic and homogene field. Inside such a moving geometric configurations cavity, just the coupling can be measured but not the field. This is the reason why the analysis of the coupling is proposed. This study shows that we have to modelise a MTC random field and allows us to characterise the diffraction properties of the MTC.

1. INTRODUCTION Les mesures des niveaux de susceptibilité de véhicules ou de dispositifs électroniques sont classiquement effectuées en chambre anéchoïde voire semi-anéchoïde. Les chambres anéchoïdes sont un moyen de test de référence. En effet, le champ arrivant sur le système est complètement maîtrisé : il s’agit soit directement du champ émis par une antenne dont le diagramme de rayonnement est connu, soit de ce champ émis auquel on rajoute la réflexion due à la présence su sol. Dans le cas où l’on veut rapidement trouver et tester le pire cas d’incidence sur l’objet, ce moyen de test présente plusieurs inconvénients. D’une part, le protocole de mesure incidence par incidence peut s’avérer long et d’autre part, si l’on est limité par le nombre des incidences et de polarisation du champ, il est possible de manquer le pire cas. C’est donc dans un contexte de rentabilité que les chambres réverbérantes à brassage de modes (CRBM) ont fait leur apparition en constituant une alternative intéressante. Une CRBM est une simple cage de Faraday surdimensionnée vis à vis de la fréquence de travail. A l’intérieur, elle est également munie d’une structure métallique mobile nommée brasseur. Au fil des différentes orientations du brasseur, le champ semble provenir de directions différentes avec une polarisation changeante. Dans une chambre réverbérante idéale, on s’attend à ce que toutes les directions de propagations et de polarisation se soient réalisées uniformément sur un tour du brasseur. Le champ sera alors statistiquement homogène et isotrope. Toutefois, si dans une CRBM, le protocole de mesure est simple, les phénomènes électromagnétiques mis en jeu sont beaucoup plus complexes. Aussi il apparaît nécessaire de bien caractériser la CRBM avant d’effectuer tout test de susceptibilité. Pour ce faire, une approche expérimentale conseillée par la norme DO160 est souvent envisagée : cette approche s’appuie sur la loi de probabilité (loi normale) des composantes (complexes) du champ de la CRBM idéale. Dans cet article, nous proposons une étude théorique du couplage dans les CRBM. Cette étude va permettre une meilleure compréhension de phénomènes physiques et valider certains résultats empiriques en jetant des bases mathématiques. Nous allons voir que, même vue de ses accès comme un quadripôle et grâce à un modèle de champ aléatoire, nous pourrons quand même juger des performances d’une CRBM. Enfin, afin de prédire le couplage mesuré en CRBM, nous proposerons des modèles de champ et nous comparerons les résultats à la mesure. La présentation sera effectuée en trois parties : 1. 2. 3.

l’étude déterministe du couplage électromagnétique dans une CRBM ; la caractérisation des propriétés statistiques de diffraction de la CRBM ; des modèles aléatoires de champ reproduisant une CRBM idéale.

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2. ETUDE DU COUPLAGE ELECTROMAGNETIQUE DANS UNE CRBM Tout au long de cette présentation, nous allons considérer un dispositif simple constitué d’une boîte métallique, à une extrémité est disposée une antenne reliée au boîtier par une impédance de 50 Ω (figure 1). Notre objectif est d’avoir des informations sur le niveau de tension induite aux bornes de la résistance : il s’agit de la tension de mode commun. Tout d’abord nous allons reprendre l’expression déterministe du couplage électromagnétique sur un système en espace libre, ensuite nous allons évaluer et analyser l’influence de parois métalliques sur ce couplage pour une configuration géométrique donnée. Nous établirons alors un lien avec le protocole de mesure en CRBM.

2.1. Susceptibilité d’un dispositif en espace libre Dans cette partie, nous utiliserons la théorie de la diffraction et le résultat issu de la manipulation du principe de réciprocité pour le calcul du couplage d’un champ électromagnétique sur un système en espace libre[6][7]. Le principe de réciprocité revient à comparer deux états du champ dans un milieu dont les propriétés ont changé d’un état à l’autre (soit le milieu lui-même soit les conditions aux limites). L’équation 1 exprime le générateur équivalent de Thévenin V d si les deux états du principe de réciprocité sont les suivants : • •

Etat A : le champ incident Einc en absence du système de réception ; Etat B ou état de transmission : le système de réception est alimenté par un générateur de courant unitaire sur le port de mesure et rayonne en espace libre. Une densité de courant J ray est alors développée sur la surface de la structure métallique.

Cette équation peut être interprétée comme un produit scalaire. La distribution de courant sur le système rayonnant en espace libre serait la fonction « test » évaluant le champ incident sur le domaine D du système.

∫

A V d = E inc ⋅JBraydD = E incJ ray

D

éq. 1

D

Einc

Jrayonné

Etat A

D

Etat B

S∞

S∞

Port de réception du système

Figure 1 : Les deux états du principe de réciprocité en espace libre

Dans l’expression (éq. 1) du couplage, il est important de remarquer qu’il n’est pas nécessaire de recalculer la distribution du courant pour différentes incidences du champ de l’état A. D’ailleurs le champ incident peut être issu d’une antenne d’émission quelconque.

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2.2. Dispositif sous test dans une enceinte métallique Toujours dans le cas déterministe, le dispositif est maintenant placé dans une chambre réverbérante dont le brasseur a une position fixe. Dans ce cas, les deux états du principe de réciprocité changent. Au lieu de considérer une surface à l’infini (pour l’espace libre), on considère cette fois la surface S P B de la CRBM (brasseur inclus) (figure 2). Dans l’état A, on n’impose aucune condition sur les parois de la CRBM : tout se passe comme si le couplage antenne/système avait lieu en espace libre Dans l’état B, on impose des conditions aux limites métalliques correspondant à la présence des parois de la CRBM en considérant toujours le couplage antenne/système. Après calculs ([1] : chapitre 1), on établit l’expression suivante : V CRBM =V d +∆V

où : • •

r

r

V d = E inc J ray

r

r

D

∆V = E inc J ray

correspond au couplage direct antenne/système (éq. 1) ; S PB

exprime l’effet des parties métalliques de la chambre réverbérante que sont les parois et le

brasseur, il s’agit d’un terme de la même nature que le couplage direct : les parois de la CRBM et le brasseur se comportent comme une « extension » du système. Ce résultat montre clairement que si l’on veut privilégier le caractère changeant (aléatoire) des mesures de couplage en CRBM, il est important de minimiser le couplage direct antenne/système sous test vis à vis de la rétroaction des parois. Il faut donc orienter les antennes d’émission dans une direction opposée au système comme indiqué sur la figure 2.

Etat A

Etat B

Système sous test

Système sous test

Antenne d’émission

Antenne d’émission

Figure 2 : Les deux états de la réciprocité pour une position du brasseur

3. CARACTERISER UNE CRBM IDEALE Dans une CRBM, le protocole de mesure est le suivant : pour chaque position du brasseur, une antenne d’émission génère un champ entièrement lié aux modes de la cavité (en tenant compte du brasseur). Si on utilise un analyseur de réseau, on relie son accès 1 à l’antenne d’émission et son accès 2 au système sous test. Ce type de montage met en évidence le comportement « boîte noire » de la CRBM qui se comporte comme un quadripôle passif réciproque.[1] La mesure en CRBM est de nature statistique. En effet, si pour une position donnée du brasseur, le champ interne est tout à fait déterministe et non maîtrisé (les modes sont redéfinis pour chaque position du brasseur), pour un ensemble de positionS du brasseur, les propriétés statistiques du champ sont stables : ses composantes cartésiennes ont leurs parties réelle et imaginaire qui suivent une loi normale de moyenne nulle avec un écart type lié au niveau du champ [1][2]. Toutefois, ces propriétés statistiques sont facilement atteintes si l’on considère que le champ est une somme infinie d’ondes planes dont leur direction est aléatoire. Or, ce modèle ne peut pas tenir des effets de diffraction des parois de la CRBM réelle. C’est pourquoi nous proposons un modèle permettant d’accéder à la physique de la CRBM. Ce modèle permettra de qualifier le champ et le couplage d’une CRBM idéale.

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3.1. Caractériser les propriétés du champ d’une CRBM idéale On propose de caractériser la CRBM comme un environnement diffractant par rapport à l’espace libre. Pour cela, on reprend les deux états que nous avons utilisés précédemment (figure 2 ) pour établir l’influence des parois : un état en présence des parois de la cavité et un état en leur absence. On considère seulement la zone de mesure de la CRBM. Cette zone peut être délimitée par une surface S ZDM. On peut alors définir des ondes entrantes et des ondes sortantes de cette surface. Les ondes entrantes correspondent à l’excitation, un champ incident en espace libre. Les ondes sortantes au champ réfléchi par les parois de la CRBM ([2]chapitre 1). Ces ondes sortantes correspondent à la diffraction des parois : elles sont une combinaison des vecteurs propres de la cavité pour chaque position du brasseur. Comme ces vecteurs propres sont redéfinis pour chaque position, on choisit de décomposer ces ondes sortantes (et aussi entrantes) sur une base fixe de fonctions. Ainsi, pour chaque position de brasseur, on peut définir une base de N vecteurs propres décrit par N fonctions de base. On peut alors introduire la matrice de diffraction [S] de la CRBM qui relie les ondes entrantes aux ondes sortantes. La matrice [S] peut ainsi être décomposée en valeurs et vecteurs propres liés à la définition de la base :

∑v s v

S=

N

t

λ

λ=1

λ

λ

éq. 2

où : • • •

λ est le compteur variant de 1 à N ; S λ identifie l’une des N valeurs propres ; v λ identifie l’un des N vecteurs propres : ils se décomposent sur la base de N fonctions qui sont autant de direction dans l’espace vectoriel choisi pour décrire le champ.

Pour connaître la réponse à l’excitation, il faut appliquer la matrice de diffraction à l’excitation. Ainsi, la réponse est une combinaison des vecteurs propres. Puisque la diffraction varie avec l’orientation du brasseur, la matrice de diffraction varie également pour chaque position du brasseur. Si le brasseur joue bien son rôle (dans une CRBM idéale), toutes les directions du champ sont apparues de façon égale et ces directions sont indépendantes d’une position de brasseur à l’autre. Ces directions du champ sont issues de la superposition des N fonctions de base. En imposant ces propriétés, on trouve que les amplitudes des fonctions de base (qui décrivent le champ de la CRBM) suivent la densité de probabilité p N que nous avons calculée et nommée loi isotrope discrète [1]: N −2 2 2 N

p N (x) =(1−x

)

où Γest la fonction Gamma.

N+1  Γ  1  2  éq. 3 ð ΓN 2

()

Cette densité de probabilité est bornée et de moyenne nulle. Elle converge rapidement vers la loi normale (figure 3). Les composantes cartésiennes du champ de la CRBM sont une combinaison linéaires des fonctions de base : elles suivent la même loi de probabilité. Ceci correspond à la statistique des parties réelles et imaginaires des composantes de champs observées expérimentalement. On a traduit l’effet de l’isotropie statistique du champ sur ses composantes.

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Figure 3 : Convergence de la loi isotrope discrète vers la loi normale.

Il est désormais possible de calculer les propriétés statistiques de la matrice de diffraction d’une CRBM idéale. Si on calcule les variances (carré des écarts types) des coefficients de la matrice, on trouve la relation suivante : var (Sij)=

var

(Sii)var (Sjj) 2

éq.4

Les Sii (termes diagonaux) représentent l’énergie revenant vers le même type d’onde et les paramètres Sij le couplage d’une onde sur les autres .

3.2. Caractériser les propriétés des paramètres de couplage d’une CRBM idéale Si l’on revient à la CRBM vue comme un quadripôle, les paramètres S s’écrivent à l’aide des intégrales de couplages que l’on a montré en première partie. Le champ intervenant dans ces intégrales représente le champ de la CRBM. Il peut donc être décrit par la base de fonctions que l’on vient d’utiliser. On montre alors que la matrice des paramètres S (accès du quadripôle CRBM) vérifie la même relation que la matrice de diffraction de la CRBM. Cette relation peut être étendue au cas particulier des accès d’émission et de réception :

var

(S12)=

var

(S11)var (S22) 2

éq. 5

Cette relation remarquable entre les variances de paramètres [S] est un moyen simple de vérifier le fonctionnement de la chambre réverbérante. Si cette relation n’est pas vérifiée, on peut mettre en doute le bon fonctionnement du brasseur pour assurer un champ statistiquement isotrope. Si on reprend l’expression des intégrales de couplages établies dans la première partie, on peut introduire l’aspect aléatoire du champ de la CRBM. Dans ce cas, on montre que les parties réelles et imaginaires de la tension de couplage suivent la même loi que celle des composantes du champ : une loi normale de moyenne nulle. Pour déterminer complètement la tension, il ne reste plus qu’à calculer sa variance. Elle est définie comme la moyenne du carré de la tension induite :

( )=moy (V V

var V

)

éq. 6

En introduisant l’expression de la tension induite, nous obtenons l’expression suivante :

( )= J C E(J)

var V

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éq. 7

Apport des modèles aléatoires de champ pour caractériser le couplage en chambre réverbérante à brassage de modes où C E a été nommé opérateur de covariance car il s’agit d’une intégrale dont le noyau est le tenseur de covariance spatiale c o v e du champ. Cet opérateur s’écrit :

( )(rr 1)=∫r ∈ cov e(rr1,rr 2)J (rr 2)d rr 2 r

CE J

2

éq. 8

D

Le tenseur de covariance spatiale est défini comme suit : c’est une matrice trois par trois :

moy (E r r r r cov (rr ,r )=moy (E ( )E ( ) )=moy (E r r  t

e

1

2

1

2

(

x1E x2 y1E x2

moy E z 1E z 2 

) moy (E ) moy (E ) moy (E

x1E y2 y 1E y2 x1E z 2

) moy (E )moy (E ) moy (E

x1E z2 y1E z 2 z 1E z2

)  ) ) 

éq. 9

Chaque terme de la matrice correspond à une corrélation non-normalisée. C’est à dire que l’on compare les variations des composantes du champ en deux endroits différents. Si leurs variations sont sans lien alors le coefficient considéré sera nul. Pour déterminer complètement la tension de couplage en CRBM idéale, la distribution de courant J est connue, il ne reste plus qu’à calculer cette covariance spatiale. Il faut pour cela disposer de modèles aléatoires de champ décrivant l’ambiance d’une CRBM idéale [5].

4.

MODELES ALEATOIRES DU CHAMP DANS LA CRBM IDEALE

4.1.Décomposition du spectre d’ondes planes aléatoires de Hill [3] [4] Dans la littérature, le modèle de Hill décrit exactement l’ambiance de la CRBM idéale : c’est à dire un champ incident statiquement homogène et isotrope. Ce modèle défini pour l’espace libre s’écrit comme suit :

(rr)=∫α∈S (Eè (α )urè(α )+Eö(α )urö (α ))e−jk(α)⋅r dα r

E

r

éq. 10

2

où : • •

S2 est la sphère de rayon unité, elle permet de définir la direction de propagation α des ondes planes; Eθ et Eφ sont des variables aléatoires complexes définissant la polarisation de l’onde plane.

Si toutes les variables aléatoires du modèle sont statiquement indépendantes, la covariance « idéale » du champ est donnée par un sinus cardinal :

r r sin ( k(r −r ) ) r r cov ( , )=8πσ (Id+ 1 ∇∇ ) r r rr k k(r −r ) e

2

1

2

1

t

2 0

1

2

éq. 11

2

où Id est la matrice identité de dimensions 3. Dans ce cas, comme les termes non diagonaux de la matrice c o v e sont négligeables devant les coefficients diagonaux, la matrice est considérée comme diagonale. Comme nous disposons de toutes les expressions analytiques qui interviennent dans la variance de la tension induite, nous l’avons calculée sur le port de réception du système sous test. Nous l’avons également comparée à la variance de la tension induite mesurée expérimentalement. La figure 4 met en évidence une bonne correspondance des niveaux en haute fréquence. Par contre, le modèle surestime la variance en basse fréquence. Ceci est dû à ce que, dans la réalité, en basse fréquence, le nombre de modes dans la CRBM est insuffisant et l’influence des parois est importante.

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Figure 4 : Comparaison des variances issues de la simulation et de la mesure

Ce modèle permet donc de décrire de façon satisfaisante le comportement d’une CRBM en haute fréquence, c’est-à-dire lorsque le nombre de modes dans la cavité est suffisamment important pour converger vers l’isotropie statistique. Par contre, il n’est pas possible de connaître exactement la limite de fonctionnement basse fréquence d’une CRBM puisque le modèle de Hill ne tient pas compte de la géométrie. C’est pourquoi nous avons proposé un autre modèle.

4.2. Décomposition en modes guidés aléatoires Si l’on considère des modes de cavité en présence du brasseur, ceux-ci sont redéfinis dès que le brasseur change d’orientation. C’est pourquoi nous avons envisagé de modéliser le champ de la zone de mesure uniquement : cette méthode nous permet de prendre en compte l’influence des parois autour de l’objet sous test. On décompose donc la CRBM en deux zones (figure 5) : • •

une zone dite de diffraction dans laquelle se trouvent l’antenne d’émission et le brasseur ; une zone de mesure vide de tout système électronique. x

y

Zone de mesure

Brasseur Antenne d’émission

z

Figure 5 : Définition de la zone de mesure

Pour une cavité parallélépipédique, la zone de mesure peut être considérée comme un guide d’onde court-circuité à une extrémité Le champ peut alors être développé à toutes les fréquences sur une base des modes guidés court-circuité suivant l’axe (Oz) : Astelab 2003

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avec : •

r

r

T (r )=∑∑ATE (rr)+ATmnMe (rr) e mn mn mn m= 0 n = 0 M

E

N

TE

TM

éq. 12

•

M et N fixés par la fréquence d’étude indiquent le nombre maximum de modes dans chaque direction transversale au guide (M pour l’axe (Ox) et N pour l’axe (Oy)) ; les indices mn identifient l’ordre du mode TE ou TM considéré , ils interviennent dans la définition des constantes de propagation discrètes : k x pour l’axe x, ky pour l’axe y ; selon l’axe z, la constante de propagation β est continue ;

•

Les

•

A

TE mn

et

TM

A

mn

TM sont les amplitudes complexes des modes e TE mn et e mn : elles sont de nature aléatoire.

Rappelons que chaque mode guidé court-circuité a son expression en produits de fonctions trigonométriques selon chaque direction. On peut montrer alors qu’il peut se décomposer en une superposition de huit ondes planes. Ces ondes planes ont leurs vecteurs de propagation définis comme suit : (±kx, ±ky , ±β). Comme les directions des ondes sont fixées et sont en nombre discret, on peut constater qu’à une fréquence donnée, il y a toujours un nombre plus important de directions autour de l’axe de propagation (Oz). On ne peut plus parler d’isotropie.

r u è alors que les modes r TM à des champs suivant uϕ . Ainsi, on établit le lien entre modes guidés court-circuités et ondes planes : On remarque également que les modes TE sont liés à des champs électriques polarisés suivant

r

r r TM − jα i r  − jk i ⋅r jk o TM − jâ i r ùì  E =∑ ∑∑ uè + uö e 4kc A mn e 4k c Amn e  m =0 n =0 i = 0  M

N

8

éq. 13

Dans ce modèle, les seuls paramètres libres sont les amplitudes complexes des modes. Pour reproduire l’isotropie, on s’inspire de la propriété de diffraction de la CRBM : ces amplitudes sont indépendantes entre elles et vont suivrent une loi normale de moyenne nulle et de variance définie comme suit :   4k c  A TE mn → N 0,   K ωµ  

  

2

   

  4k  K c A TM mn → N  0 ,   k o  

éq. 14

   

2

   

éq. 15

K est un coefficient permettant de relier la variance des amplitudes à la puissance réellement injectée dans la chambre. L’allure des variance contrebalance l’effet « d’accumulation » des directions de propagation autour de l’axe (Oz). En effet, moins la direction de propagation est centrée sur l’axe (Oz) et plus sa variance est importante. Comme pour le modèle de Hill, le modèle du champ est complètement analytique, on peut écrire l’allure de la covariance en identifiant des ordres mn par πet pq par τ :

rr

r

r

CE (r1, r 2 )=∑∑moy (AðA ô)e ð( r1)e ô(r 2) éq. 16 ð

ô

Finalement, l’expression de la variance est donnée par : var(V ) =

∑∑ var(A ) v

/ TM / TM avec v TE = e TE J mn mn

TE mn

D

TE 2 mn

(

)

TM + var A TM mn v mn

la tension de couplage du mode mn

2

éq. 17

éq. 18

Le nouveau modèle proposé devrait être plus performant puisqu’il prend en compte la présence de parois parfaitement métalliques reproduisant la géométrie de la mesure. Sur la figure 6 les variances des deux simulations ont été comparées à celle de la mesure. Avec les modes guidés, le niveau est mieux reproduit en basse fréquence. Les deux modèles de simulations donnent de bon résultats en haute fréquence.

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Figure 6 : Comparaison mesure et simulation

5.

CONCLUSION

En conclusion, nous avons proposé un modèle aléatoire « idéal » permettant de trouver une relation simple entre les paramètres [S] au niveau des ports entrée / sortie de la chambre. Cette relation est un moyen simple et rapide permettant d’évaluer les performances de la chambre. Par la suite, nous avons montré que le couplage entre le champ aléatoire et la structure sous test pouvait être pris en compte par la théorie grâce au principe de réciprocité. Deux modèles ont été proposés le premier « idéal » néglige l’influence des parois de la chambre ; par contre le second prend bien en compte sa géométrie. De ce fait, il permet de mieux appréhender la limite basse de fonctionnement de la chambre et de l’influence sur le couplage en basse fréquence.

6. REFERENCES [1] C. Fiachetti. “Modèles de champ aléatoire pour le calcul du couplage sur un équipement électronique en chambre réverbérante à brassage de mode et validation expérimentale”. Thèse de Doctorat de l’Université de Limoges 13 novembre 2002. [2] C. Fiachetti, B. Michielsen, F. Issac, A. Reineix. “Modelling field to Equipment Coupling in Mode Stirred Chambers”. Congrès IEEE EMC Montréal, Août 2001. [3] D. Lehman. “A Statistical Theory of Electromagnetic Fields in Complex Cavities.” Interaction Note, May 1993. [4] D. Hill. “Electromagnetic Theory of Reverberation Chambers”. NIST Technical Report Note 1506, 1998. [5] G. Ekwardt, U. Dörr, U. Kuhl and H.J. Stöckman. “Correlation of Electromagnetical Field in Chaotic Cavities.” Europhysics letters, 1999 [6] G.D. Monteath. “Applications of the Electromagnetic Reprocity Principle. 1973. [7] B. Michielsen. “A New Approach to Electromagnetic Shielding”. Technical report, Philips, 1989.

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