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Peut-on faire des Mathématiques avec un ordinateur ?

René DAVID [email protected] www.lama.univ-savoie.fr/~david

 Qu’est ce que les mathématiques ?

 Qu’est ce que les mathématiques ? • • • •

Un peu d’histoire Maths = outil pour parler du monde qui nous entoure Maths = des concepts + du calcul + du raisonnement La crise des fondements et l’introduction de la logique

 Qu’est ce que les mathématiques ?  Que peut-on faire avec un ordinateur ?

 Qu’est ce que les mathématiques ?  Que peut-on faire avec un ordinateur ? • • • • •

Un peu d’histoire Ce qu’on sait faire depuis « longtemps » Les limitations dues à la vitesse Les impossibilités « intrinsèques » Des méthodes (ou des ordinateurs ) plus efficaces ?

 Qu’est ce que les mathématiques ?  Que peut-on faire avec un ordinateur ?  L’aide au raisonnement ?

 Qu’est ce que les mathématiques ?  Que peut-on faire avec un ordinateur ?  L’aide au raisonnement ?  Questions et perspectives

 Qu’est ce que les mathématiques ? • Un peu d’histoire

Thales de Milet (624 BC - 547 BC) Turquie

Le « théorème de Thales » lui permet de mesurer la hauteur des pyramides

Pythagore (569 BC - 475 BC) Grèce -

Le carré de l’hypoténuse d’un triangle rectangle est égal à …

-

La somme des angles d’un triangle égale deux angles droits

-

La diagonale d’un carré de côté 1 n’est pas un nombre « rationnel »

Pythagore (569 BC - 475 BC) Grèce -

Le carré de l’hypoténuse d’un triangle rectangle est égal à …

-

La somme des angles d’un triangle égale deux angles droits

Platon (427 BC - 347 BC) Grèce « Le monde est compréhensible car il a été créé par un Dieu qui est un mathématicien »

Aristote (384 BC - 322 BC) Grèce La logique et ses syllogismes Tous les hommes sont mortels Socrate est un homme Donc Socrate est mortel

Euclide d’Alexandrie ( 325 BC- 265 BC) Egypte - Fondements axiomatiques de la géométrie « Par un point à l’extérieur d’une droite, il passe une parallèle à cette droite et une seule » - Le premier algorithme : l’algorithme d’Euclide du calcul du PGCD de deux nombres

Archimède (287 BC - 212 BC) Sicile -

Calcul de surfaces et volumes

-

Calcul de π

-

Poussée d’Archimède : tout corps plongé dans un liquide …

Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi (780 – 850) Irak -

Résolution d’équations du second degré en utilisant une opération qu ’il appelait « al-jabr »

-

Notations algébriques : 3x2+1

Fibonacci (1170 – 1250) Italie Théorie des nombres : La suite de Fibonacci 1,1,2,3,5,8,13,21,… u0 = u1= 1 un+2 = un+1 + un

Nicolaus Copernicus (1473 -1543) Pologne « Ce n’est pas le soleil qui tourne autour de la terre mais la terre qui tourne autour autour du soleil »

Galileo Galilei (1564 – 1642) Italie « Le monde est écrit en langage mathématique »

René Descartes (1596 – 1650) France – Suède Géométrie analytique Remplacer le raisonnement géométrique par du calcul sur les coordonnées « cartésiennes » des points.

Pierre de Fermat (1601 – 1665) France Son dernier « théorème » Si n est supérieur ou égal à 3 et xn+yn=zn alors, l’un des trois nombres x, y ou z est nul.

Blaise Pascal (1623 – 1662) France -

Bases de la théorie des probabilités

-

Combinatoire : le « triangle de Pascal »

Isaac Newton (1643 – 1727) Angleterre -

Les lois de la gravitation

-

Mouvement des planètes

Wilhelm von Leibniz (1646 – 1716) Allemagne Calcul différentiel et intégral

Leonhard Euler (1707 – 1783) Suisse - Russie -

Théorie des nombres

-

Équations différentielles

-

Notation pour e, i, π

Johann Gauss (1777 – 1855) Allemagne Méthode générale pour résoudre des systèmes d’équations linéaires 2x+3y=5 3x-5y=2

Evariste Galois (1811 – 1832) France La théorie des groupes Inexistence de méthode générale pour résoudre des équations de degré supérieur ou égal à 5.

David Hilbert (1862 – 1943) Russie - Allemagne Il donne, au premier congrès international des mathématiciens en 1900, une liste de 23 problèmes « importants » dont certains sont encore non résolus : - Hypothèse de Riemann - Toutes les maths se ramènent-elles à des calculs finis ?

Laurent Schwartz (1915 – 2002) France Théorie des distributions

Andrew Wiles (1953 - ) Angleterre Le théorème de Fermat

 Qu’est ce que les mathématiques ? • Un peu d’histoire • Maths = outil pour parler du monde qui nous entoure



Le temps qu’il fera



Cryptographie





Comment rationaliser les ventes aux enchères



Le casse-tête des compagnies aériennes De la géométrie en dimension 11 pour comprendre l’univers

Théorie du contrôle



Des statistiques pour la compréhension des gènes





Ondelettes pour la compression des images



Les codes correcteurs d’erreurs



De l ’ADN à la théorie des nœuds



Internet : modéliser le trafic pour mieux le gérer



La théorie de la relativité



Astronomie

(Cf. le fascicule gratuit édité par la SMF et la SMAI : l ’explosion des mathématiques)

Classement des mathématiques en 1868



Histoire et philosophie



Théorie des fonctions



Algèbre



Géométrie analytique



Théorie des nombres



Géométrie synthétique



Calcul des probabilités



Mécanique



Séries



Physique mathématique



Calcul différentiel et intégral



Géodésie et astronomie

Classement des mathématiques en 1979



Un classement en plus de 60 catégories



Plus de 3000 sous catégories



De la recherche « fondamentale »



De la recherche « appliquée»



Qu’est ce que les mathématiques ? • • •

Un peu d’histoire Un outil pour parler du monde qui nous entoure Des concepts + du calcul + du raisonnement.

Calculus = les cailloux que les bergers utilisaient pour compter leurs bêtes

Des concepts • La notion de continuité, la théorie des groupes, …

• La théorie des espaces vectoriels : nous sommes amenés à nous déplacer sur terre. Des millions d’années d’évolution ont introduit dans notre cerveau des « algorithmes ». Cette théorie est, pour nous, un moyen de décrire ces algorithmes.

• La théorie du Big Bang est, pour nous, un moyen de décrire ce qui s’est passé il y a 15 milliards d ’années. • La théorie de la relativité, la théorie des cordes sont des outils qui nous aident à « comprendre » le monde qui nous entoure

Des notations • Notation romaine : MCMLXXXVIII (1988) • Notation arabe (à partir du 7-ième siècle) : notation de position, introduction d’un symbole pour le zéro. • Notation algébrique : (a + b)2 = a2+ 2 a b + b2 (le carré de la somme de deux nombres est égal au carré du premier augmenté du carré du deuxième et de deux fois le produit de ces deux nombres)

Du calcul sur des nombres de plus en plus compliqués

N = {0, 1, 2, …} Z = {-2, -1, 0, 1, 2, …} Q = {1/2, 2/3, -5/6, …} R = {π, √2, …} C = {(1+2 i), …}

(J. Cardan, 16-ième siècle )

Du calcul et du raisonnement au lycée et dans les premières années de l’université

Fermat (1635) : Théorie des nombres Descartes (1637) : Géométrie analytique Pascal (1650) : Probabilités Leibniz (1682) : Calcul différentiel et intégral

Du calcul et du raisonnement en algèbre, en analyse

(u v )’ = u’ v + u v’ y' ' + ω y = 0 2



1 0

xdx = 1 / 2

2x + 3y = 4x − 5 y =

5 −7

Du raisonnement en géométrie

Le théorème de Thales

 Qu’est ce que les mathématiques ? • • • •

Un peu d’histoire Des concepts + du calcul + du raisonnement Un outil pour parler du monde qui nous entoure La crise des fondements et l’introduction de la logique



Le paradoxe de Russel si a = { x / x ∉ x} alors a ∈ a si et seulement si a ∉ a.



Le paradoxe de Richard « le plus petit entier qu’on ne peut pas définir par une phrase de moins de 30 mots ».

Giuseppe Peano (1858 – 1932) Italie Axiomatisation des entiers

On peut démontrer des propriétés de tous les entiers en un nombre fini d’étapes de raisonnement Principe de récurrence* • Si une propriété P est vraie pour n=0 • Si on peut montrer P(n+1) en supposant que P(n) est vraie • Alors P est vraie pour tout entier (*) apparaît déjà chez Pascal (1650)

Cantor (1845-1918) Russie-Allemagne

Théorie des ensembles

David Hilbert Théorie de la démonstration 



Peut-on prouver la consistance des axiomes de Peano par des moyens « sûrs », c’est-à-dire « finis » ? Le raisonnement se ramènet-il à du calcul ?

Gerhard Gentzen (1909 – 1945) Allemagne – Tchécoslovaquie

Preuve de la non contradiction du raisonnement mathématique

Les règles de démonstration • Si on sait démontrer B en supposant A, alors on sait démontrer A→ B • Si on sait démontrer A → B et A, alors on sait démontrer B • Si on sait démontrer C en supposant A et si on sait démontrer C en supposant B, •…

alors on sait démontrer (A ou B) → C

Le raisonnement mathématique n’est pas toujours celui de « tous les jours » : Si … alors … n’a pas de sens de « causalité » Un père dit à sa fille « si tu ne manges pas ta soupe tu auras une gifle ». La fille mange sa soupe et reçois quand même une gifle…

Kurt Gödel (1906 – 1978) Autriche – USA

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Théorème de complétude

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Théorème d’incomplétude

Gödel et Einstein à Princeton

Le théorème de complétude

Il existe un système fini de règles de démonstration tel que, pour toute formule F, F est vraie si et seulement si on peut la démontrer en utilisant ces règles

Les théorèmes d’incomplétude - Aucun système « raisonnable » ne peut caractériser la vérité sur les nombres entiers : il y a des formules vraies mais non démontrables. - On ne peut pas démontrer la non contradiction d’un tel système avec les méthodes de ce système.

Faillite du programme de Hilbert • On ne peut pas prouver la non contradiction des axiomes de Peano par un calcul. • Même s’il y a des théories* qui se « réduisent » à du calcul, on ne peut pas « tout » faire par le calcul. • Il faudra toujours de l’intelligence, de l’imagination, ... (*) par exemple, la géométrie algébrique réelle (Tarski 1935)

 Qu’est ce que les mathématiques ?  Que peut-on faire avec un ordinateur ?

- Un peu d’histoire

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Calculs … à la main

- Calculs … à la main - En 1614, Neper  publie la première table de log

- Calculs … à la main - En 1614, Neper  publie la première table de log - Gunta (1581-1626) et Wingate (1596-1657) inventent la règle à calcul

La machine à additionner de Pascal

La machine de Leibniz Elle fait les 4 opérations

La machine de C. Babbage (1833)

Alan Turing (1912 – 1954) Angleterre -

Logique mathématique Machine de Turing (1930)

modèle théorique des ordinateurs

Alonzo Church (1903 – 1995) USA Introduction du λ-calcul

base mathématique des langages fonctionnels (Lisp, Scheme, Caml, ..)

John von Neumann (1903 – 1957) Hongrie – USA -

L’un des pionniers de l’informatique.

-

Il a conçu des automates cellulaires qui « miment » la vie.

La machine (électro-mécanique) de H. Aiken (1943) Elle pesait 5 tonnes

Les premières machines électroniques (vers 1950)

Le premier processeur IBM

Un peu plus tard

En 1970 on rentrait les données avec des cartes perforées

Les premiers ordinateurs personnels (vers 1980)

 Qu’est ce que les mathématiques ?  Que peut-on faire avec un ordinateur ? • Un peu d’histoire • Ce qu’on sait faire depuis « longtemps »

Du calcul - Un

ordinateur est une machine très « bête » : elle ne sait que manipuler des 0 et des 1. La machine n’est pas intelligente, c’est le programme imaginé par l’homme qui l’est … - Mais elle manipule fabuleusement vite : 10 11 opérations à la seconde. C. Delaunay a mis 20 ans pour déterminer le mouvement de la lune. - Maintenant avec Maple, il faut 20 minutes. - Pas assez toutefois …

- Logiciels - calcul numérique : Mathlab, Scilab, … - calcul formel : Mupad, Maple, Mathematica,

- Exemple de calculs

De la géométrie

Logiciels de géométrie cabri-géomètre, Géoplan, Géospace

Et même démontrer des théorèmes combinatoires

Le théorème des 4 couleurs

Toute carte plane peut être coloriée avec 4 couleurs de sorte que 2 régions ayant une frontière commune soient toujours de couleur différente.

Le théorème des 4 couleurs • Preuve par Appel et Haken en 1976 : de l’intelligence mathématique et beaucoup de calcul (10 semaines). • En 1995, 20 minutes : des ordinateurs qui vont plus vite mais aussi plus d’intelligence mathématique • Y a-t-il une preuve qui nécessitera moins de calculs ?

La conjecture de Kepler Comment disposer des sphères pour « remplir » l’espace au maximum ?

La conjecture de Kepler • Question posée vers 1600 • Dès 1953 on a compris qu’on pouvait se ramener à un gros calcul … mais on n’avait pas les moyens nécessaires • Preuve faite en 1998 mais on n’est pas sûr à 100 % qu’elle est correcte. • Projet d’une vérification « informatique » qui prendra plusieurs années.

La conjecture de Goldbach « Tout nombre pair est-il la somme de 2 nombres premiers ? » • Vérification faite jusque 6 10 6 • Preuve générale ???

 Qu’est ce que les mathématiques ?  Que peut-on faire avec un ordinateur ? • • •

Un peu d’histoire Ce qu’on sait faire depuis longtemps Les limitations dues à la vitesse

Combien d’opérations un ordinateur qui fait 1014 opérations à la seconde qui calculerait depuis le Big Bang aurait-il fait ?

Moins de 1032 opérations c’est à dire environ le nombre de permutations possibles des entiers de 1 à 31.

Il est généralement estimé que notre cerveau, avec ses 1011 neurones fait entre 1013 et 1019 opérations à la seconde.

n

10

100

n2

100

10 000

n3

1000

1 000 000

n10

1 suivi de 10 zéros

1 suivi de 20 zéros

2n

1 024

1 suivi de 30 zéros

3n

59 049

5 suivi de 47 zéros

Actuellement, on ne sait pas (exactement) • Dire si un nombre (*) est premier ou non • Décomposer un nombre (*) en facteurs premiers : application à la cryptographie • Résoudre des problèmes du genre « voyageur de commerce » où on cherche le « plus court » chemin pour « visiter » un grand nombre de villes

(*) s’il a plus de 200 chiffres

Une question théorique fondamentale

Si on ne connaît pas d’algorithmes efficaces pour résoudre ces problèmes Est-ce • Parce qu’on n’a pas été assez malin pour en inventer ? • Parce qu’il n’y en a pas ?

On ne sait pas … C’est le problème connu sous le nom « P = NP ? »

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Un peu d’histoire Ce qu’on sait faire depuis longtemps Les limitations dues à la vitesse Les impossibilités « intrinsèques »

Certains problèmes sont indécidables c’est à dire

Il n’y a pas d ’algorithmes généraux pour les résoudre

x2 + 3 x y - 4 z2+ 5 x3 z = 0 Cette équation a-t-elle une solution à valeurs entières ? Yuri Matijasevic (1970)

Begin . .

Ce programme va-t-il s’arrêter ?

. End

A. Turing 1936

Peut-on obtenir un rectangle ?

Pour tout entier n ≥ 3, si xn +yn = zn, alors x.y.z=0

Cette formule est elle vraie ?

 

Qu’est ce que les mathématiques ? Que peut-on faire avec un ordinateur ? • Un peu d’histoire • Ce qu’on sait faire depuis « longtemps » • Les limitations dues à la vitesse • Les impossibilités « intrinsèques » • Des méthodes (ou des ordinateurs ) plus efficaces ?

D’autres types d’algorithmes • Algorithmes probabilistes Exemple (test de primalité) : on veut savoir si un nombre est premier ou non. L’algorithme de MillerRabin répond (rapidement) oui ou non. • S’il répond non : le nombre n’est pas premier • S’il répond oui : il est (probablement, mais avec une marge d’erreur très petite) premier.

D’autres types d’algorithmes

• Algorithmes donnant une valeur approchée du résultat Pour le problème du voyageur de commerce, divers algorithmes (rapides) donnent un chemin dont la « longueur » est « proche » de la longueur minimum.

D’autres types d’algorithmes

• Algorithmes génétiques On utilise des « mariages » entre algorithmes et on sélectionne les « bébés » les plus efficaces. Après plusieurs milliers de « générations » on obtient de bons algorithmes.

Des ordinateurs utilisant d’autres principes • Ordinateurs quantiques Un ordinateur quantique opère ses calculs grâce à la superposition d'états quantiques.

Des ordinateurs utilisant d’autres principes

• Ordinateurs à base moléculaire Adleman a construit un ordinateur à ADN qui a résolu une version du problème du voyageur de commerce. L'ordinateur à ADN a mis une semaine, là où un ordinateur classique aurait mis des années.

Des ordinateurs utilisant d’autres principes

• Parallélisme De nombreux ordinateurs travaillent « ensemble », mais il faut toujours un « chef » et beaucoup de temps est perdu dans la coordination.

Des ordinateurs utilisant d’autres principes

• Automates cellulaires

Des ordinateurs utilisant d’autres principes

• Ces divers modèles cherchent à augmenter la vitesse d’exécution • Des problèmes qui étaient « indécidables » avec les modèles actuels vont-ils devenir décidables ?

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Qu’est ce que les mathématiques ? Que peut-on faire avec un ordinateur ? L’aide au raisonnement ?

Assistants de démonstration • Coq, Isabelle, PVS, Mizar, PhoX, ... • Ils savent prouver « seuls » des résultats simples. Mais, malgré les progrès, on est encore très loin de l’homme • Un exemple avec PhoX - avec le langage de commandes actuel - en français

Des preuves de théorèmes faites sur machine • Le théorème d ’Alembert : tout polynôme à coefficients complexes a une racine • Le

• ….

théorème de Gödel

Un exemple avec PCoq (F. Guilhot)

• Des démonstrations formelles de résultats géométriques • Formalisme utilisé dans le démonstrateur Lemma paralleles_vecteur : (A, B, C, D : PO) & ~( A ≠ B ) & ~(C == D ) -> (paralleles (droite A B) (droite C D)) -> (exT ? [k : R] (vec A B) == (mult_PP k (vec C D)) ). • Traduction automatique dans des versions plus proches du langage courant

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Qu’est ce que les mathématiques ? Que peut-on faire avec un ordinateur ? L’aide au raisonnement ? Questions et perspectives • Besoin de preuves formelles

Nécessité de prouver les programmes

pour éviter les « bugs »

• Suite à une erreur, le système a inopinément quitté cette application. Les données non sauvegardées seront perdues.

• Suite à une erreur, le système a inopinément quitté cette application. Les données non sauvegardées seront perdues. • Explosion d’Ariane 5

• Suite à une erreur, le système a inopinément quitté cette application. Les données non sauvegardées seront perdues. • Explosion d’Ariane 5 • Bug d’excel : En tapant dans une case : 165874395267, on obtenait : 64

Nécessité de prouver les programmes

• Depuis 1995, en Europe, les ITSEC (critères harmonisés d’évaluation de la sécurité des systèmes informatiques) exigent l’usage de méthodes formelles à partir d’un certain niveau de sécurité. • Transports, médecine • Banques, Télécommunications, ...

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Qu’est ce que les mathématiques ? Que peut-on faire avec un ordinateur ? L’aide au raisonnement ? Questions et perspectives • Besoin de preuves • Faut-il faire des maths avec des ordinateurs ?

Eviter les erreurs de raisonnement •Très souvent, quand on formalise des preuves, on y trouve des erreurs … • Pour des résultats qui sont « sûrement » corrects, est-ce utile de faire des preuves « formelles » ? • Des « gros » théorèmes, où la part du calcul est faible, ont été prouvés sur ordinateur mais il a fallu beaucoup de temps : un an pour le théorème de D’Alembert. • Comment se convaincre que la preuve du théorème de Fermat est correcte ? Celle de la conjecture de Kepler?

Outils pédagogiques

Expériences avec les étudiants de Deug et de licence de maths de l’université

Cf. article paru dans la revue « Quadrature » ou ma page web

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Qu’est ce que les mathématiques ? Que peut-on faire avec un ordinateur ? L’aide au raisonnement ? Questions et perspectives • • •

Besoin de preuves Faut-il faire des maths avec des ordinateurs ? Faut-il encore faire des mathématiques ? Y a-t-il encore des choses à trouver en Maths ?

Les ordinateurs « savent faire » plus de choses (et plus vite) qu’un étudiant ayant un Deug de Maths ? « Avec les calculatrices, les mathématiques ne servent plus à rien » C. Allègre (ancien ministre de l’éducation)

Il a perdu une bonne occasion de se taire, car …

On a besoin de mathématiques

• le calcul = la partie « sans intelligence » • il faut remplacer la vitesse par l’intelligence car la machine n’ira jamais assez vite • ce qui donne de meilleurs algorithmes, c’est des maths difficiles (ex : un test de primalité « efficace» a été inventé en 2002)

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Qu’est ce que les mathématiques ? Que peut-on faire avec un ordinateur ? L’aide au raisonnement ? Questions et perspectives • • •

Besoin de preuves Faut-il faire des maths avec des ordinateurs ? Faut-il encore faire des mathématiques ? Y a-t-il encore des choses à trouver en Maths ? • D’autres questions … auxquelles je n’ai pas de réponses

• Un théorème est un énoncé • qui peut se « prouver » en utilisant les règles de la logique ? • publié dans une revue mathématique avec comité de lecture. Autrement dit, un énoncé reconnu comme vrai (et intéressant) par les mathématiciens. • Les théorèmes prouvés en utilisant des gros calculs faits sur machine sont-ils réellement « prouvés » ? Y a-t-il des erreurs dans le programme ?

• Les maths vont-elles devenir des calculs de plus en plus gros ? • Les ordinateurs font-ils des maths ? Ils en font comme les télescopes font de l’astronomie … • L’univers est-il « géré » par un automate cellulaire « très simple » ? (Wolfram 2002)

FIN

Bibliographie • Histoire des maths - J.Dhombres & … : Mathématiques au fil des âges - Sur le Web : Mactutor (en anglais) ou chronomath (en français) - A. Ducrocq & A. Warusfel : Les mathématiques Plaisir et nécessité • A quoi servent les Maths - Fascicule publié par la SMF et la SMAI • Logique et Informatique - JP. Delahaye : Information complexité et hasard -

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: Logique, informatique et paradoxes : L’intelligence et le calcul. De Gödel aux ordinateurs quantiques

•Théorie de la démonstration - G. Dowek : La logique - R.David & K.Nour & C.Raffalli : Introduction à la logique. Théorie de la démonstration