probabilités onditionnelles
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Cours sur les probabilités onditionnelles Problématique
Histoire des probabilités : (d'après l'en y lopédie universalis) Le al ul des probabilités est ertainement une des bran hes les plus ré entes des mathématiques, bien qu'il ait en fait trois siè les et demi d'existen e. On le retrouve dans presque toutes les bran hes de l'a tivité s ienti que : analyse, é onomie, génétique, méde ine épidémiologique, physique quantique... Le al ul des probabilités est né de l'étude des jeux de hasard ( e mot venant de l' Arabe 'az-zahr ' : dé à jouer ). Pas al et le Chevalier de Méré sont ertainement les premiers à avoir voulu introduire le quantitatif dans es études et à les mathématiser ( un des problèmes posés à l'époque - au milieu de XVIIè siè le - était la répartition d'une agnotte lorsqu'une partie de dés est interrompue !). Avant que des dé nitions et propriétés laires ne voient le jour, de grossières erreurs furent ommises ; on peut lire dans l'En y lopédie de d'Alembert -1754 - qu'au jeu de pile ou fa e après avoir obtenu fa e trois fois de suite, fa e devenait moins probable au oup suivant. C'est de ette problématique dont nous allons parler dans e hapitre... 1°) Rappels sur les probabilités
Soit Ω = {e1 , e2 , . . . , en } un ensemble ni : l'univers des possibles. On asso ie à haque élément ei un nombre réel positif, noté P ({ei }) ou P (ei ) tel que 0 ≤ P (ei ) ≤ 1
et
n X
P (ei ) = 1
i=1
P (ei ) est la probabilité de l' événement élémentaire ei .
Vo abulaire : Donner tous les nombres P (ei ) 'est dé nir une loi de probabilité sur Ω. Exemple : On lan e un dé à 6 fa es et on regarde le numéro porté par la fa e supérieure. On note Ω l'ensemble des résultats possibles. Alors Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. C'est à dire que le résultat est e1 = ”1” ou e2 = ”2” ou e3 = ”3” ... ou e6 = ”6”. Si le dé n'est pas truqué, on a envie d'asso ier la loi de probabilité : P (”1”) = P (”2”) = · · · = P (”6”) =
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Un événement A est une partie de l'univers Ω. La probabilité d'un événement A est la somme des probabilités des événements élémentaires in lus dans A. L'événement impossible est la partie vide ∅ : P (∅) = 0. L'événement ertain est la partie pleine Ω : P (Ω) = 1. L'événement A ou B est l'événement A ∪ B . Le "ou" est à omprendre au sens non ex lusif 'est à dire que
ela ne signi e pas "ou bien". L'événement A et B est l'événement A ∩ B . Deux événements A et B sont dits événements in ompatibles si A ∩ B = ∅. Si A et B sont deux événements in ompatibles alors P (A ∪ B) = P (A) + P (B) Si A et B sont deux événements quel onques alors P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
Si A désigne l' événement ontraire de A alors P (A) = 1 − P (A).
Si de plus, ha un des n événements élémentaires a la même probabilité ( on dit que l'on a équiprobabilité ) et si A est un événement onstitué de m événements élémentaires alors P (A) =
m nombre de as favorables = n nombre de as possibles
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Exemple : Dans le as déjà évoqué de notre dé à 6 fa es, la probabilité d'obtenir un numéro pair est . Dans le as d'équiprobabilité, le al ul de probabilités oïn ide ave le al ul de fréquen es. Exemple : Dans une lasse de 30 élèves il y a 20 garçons et 10 lles. Je hoisis d'interroger un(e) élève au hasard. Si on suppose que la loi uniforme s'applique alors la probabilité d'interroger une lle est de 10 30 , omme la fréquen e des lles dans la lasse. 2°) Fréquen e onditionnelle - Probabilité onditionnelle
Exemple : Dans une lasse de 30 élèves il y a 20 garçons et 10 lles. Parmi les garçons il y a 3 blonds et parmi les lles il y a 2 blondes. Je hoisis d'interroger un(e) élève au hasard. On suppose don que la loi uniforme s'applique. On onfond don probabilité et al ul de fréquen e. 5 La probabilité d'interroger une personne blonde est de . 30
2
6
. = La probabilité d'interroger une personne blonde sa hant que j'interroge une lle est 10 30 La probabilité d'interroger une lle hange à priori si je sait quelque hose en plus. On va don étudier l'in uen e d'un événement sur la réalisation d'un autre, 'est e qu'on appelle les probabilités
onditionnelles. Définition : On appelle probabilité onditionnelle de l'événement A par rapport à B ou, probabilité de A sa hant que B est réalisé, le nombre réel noté PB (A) = P (A |B ) =
P (A ∩ B) P (B)
3°) Exemples et représentations de probabilités onditionnelles
Pour représenter une situation où il y a des probabilités onditionnelles, on fait souvent la onstru tion d'un arbre de probabilité ou "arbre pondéré". Exemple : (d'après Amérique du sud 2006) Lors d'un examen, Julien doit répondre à un Q.C.M. À haque question trois réponses sont proposées dont une seule est exa te. Pour haque question, soit il onnaît la réponse et répond de façon exa te, soit il ne la onnaît pas et, dans e
as, bien qu'il ait la possibilité de ne pas répondre, il préfère tenter sa han e et répond au hasard il a alors une
han e sur trois que sa réponse soit exa te. 1 On suppose, de plus, que la probabilité que Julien onnaisse la réponse à une question donnée est égale à . 2 On note C l'évènement Julien onnaît la réponse , E l'évènement la réponse est exa te .
Questions
1. Julien répond à une question du Q.C.M.
Construire un arbre pondéré dé rivant la situation. 2
2. Démontrer que : p(E) = . 3 3. Cal uler la probabilité que Julien onnaisse la réponse à la question sa hant que sa réponse est exa te.
Solution
1. La su
ession des événements est C
Ω
E
E C E
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Voi i les règles de représentation d'un arbre pondéré :
Une bran he relie un événement qui su
ède à un autre événement duquel il dépend, il en est onditionné Sur haque bran he gure la proba onditionnelle de l'événement La somme des probabilités ae tées aux bran hes issues d'un même n÷ud est égale à 1
On obtient don l'arbre suivant : C 1 2
1
Ω 1 2
C
1 3
2 3
Par exemple, on a mis P (C) =
Solution
E
E
E
1 et PC (E) = 1 et PC (E) = 2
1 3
et PC (E) = 32 .
2 L'événement E "la réponse est exa te" peut apparaître dans deux as in ompatibles : premier as : "Julien onnaît la réponse et sa réponse est exa te". se ond as : "Julien ne onnaît pas la réponse et sa réponse est exa te". 1 2
1 3
On a don P (E) = P (E ∩ C) + P (E ∩ C) = PC (E) × P (C) + PC (E) × P (C) = 1 × + × Il faut onnaître les règles d'utilisation d'un arbre pondéré :
1 1 1 2 = + = 2 2 6 3
La probabilité d'un événement représenté par un hemin maximal est le produit des probabilités de ha une des bran hes qui omposent le hemin : règle du produit. La probabilité d'un événement représenté par un ensemble de plusieurs hemins maximaux est égale à la somme des probabilités
orrespondant à ha un des es hemins maximaux : règle de la somme.
4°) Théorèmes sur les probabilités onditionnelles
Définition
: probabilités onditionnelle
On appelle probabilité de A sa hant que B est réalisé, le nombre réel noté PB (A) =
P (A ∩ B) P (B)
On a don la relation suivante (par produit en roix) : P (A ∩ B) = P (B) × PB (A) Remarque : Cette formule orrespond sur l'arbre à la "règle du produit".
Théorème
: La formule des probabilités totales
Les événements B1 , B2 , . . . , Bn onstituent une partition de l'univers Ω si Ω = B1 ∪ . . . ∪ Bn
et
Bi ∩ Bj = ∅ pour tout i 6= j.
B3
B2
Ω En plus lair, Ω est la réunion des ensembles Bi qui sont deux à deux disjoints. Ou bien : Ω est la réunion des événements Bi qui sont deux à deux in ompatibles. B1 Exemple : Sur e dessin, Ω est la réunion des trois enUn exemple illustré permet de mieux omprendre la hose : sembles B1 , B2 et B3 qui sont deux à deux disjoints.
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Soit alors A un événement , il est fa ile de voir que A = A ∩ Ω = (A ∩ B1 ) ∪ (A ∩ B2 ) ∪ . . . ∪ (A ∩ Bn ). Comme Bi ∩ Bj = ∅ (ils sont in ompatibles), on a que (A ∩ Bi ) ∩ (A ∩ Bj ) = ∅ (ils le sont aussi) on a : P (A) =
n X
P (A ∩ Bk ) =
n X
P (Bk ) × PBk (A).
k=1
k=1
Ce qui nous onduit à énon er la propriété suivante : Formule des probabilités totales : Soit B1 , . . . , Bn des événements onstituant une partition de l'univers Ω, pour tout événement A on a : P (A) =
n X
P (A ∩ Bk ) =
k=1
n X
P (Bk ) × PBk (A)
k=1
Remarque : Cette formule orrespond sur l'arbre à la "règle de la somme". Exemple : Dans le as de la gure de l'exemple pré édent, ela orrespond à ette nouvelle gure :
B3
P (A) = P (A ∩ B1 ) + P (A ∩ B2 ) + P (A ∩ B3 )
B2
Ω
= P (B1 ) × PB1 (A) + P (B2 ) × PB2 (A) + P (B3 ) × PB3 (A)
B1
Théorème
A
: "inversion" des probabilités onditionnelles
On suppose que l'on onnaît PB (A), on a alors PA (B) =
P (A ∩ B) P (B) × PB (A) = P (A) P (A)
Exemple : 5°) Indépendan e de deux événements
Définition : indépendan e
Deux événements A et B sont indépendants ssi PA (B) = P (B) ssi PB (A) = P (A) ssi P (A ∩ B) = P (A) × P (B). Intuitivement, deux événements sont indépendants l'un de l'autre si le fait que l'un se produise n'in ue pas sur la proba de l'autre. Cette intuition nous donne aussi les résultats suivants (à démontrer en exer i e) : A et B sont indépendants ssi A et B sont indépendants ssi A et B sont indépendants ssi A et B sont indépendants.
Remarque :
Pour prouver l'indépendan e de deux événements, on montre le plus souvent que P (A ∩ B) = P (A) × P (B). Exemple : Une urne ontient des jetons de deux ouleurs : jaune et vert, portant ha un un numéro pair ou impair. 7 ; la probabilité pour que le jeton porte un numéro pair est La probabilité pour que le jeton soit jaune est de 12 1 de 3 . 1 La probabilité pour que le jeton soit jaune et porte un numéro pair est de 12 . On tire au hasard un jeton de ette urne. être jaune être vert total numéro pair Traduire et énon é dans e tableau de fréquen es : numéro impair
total
probabilités onditionnelles 1. 2. 3. 4. 5. 6.
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Les événements jaune et pair sont-ils indépendants ? Quelle est la probabilité pour que le jeton soit vert ? Quelle est la probabilité pour que le jeton porte un numéro impair ? Quelle est la probabilité pour que le jeton porte un numéro impair et soit vert ? vert et impair sont-ils indépendants ? Quelle est la probabilité pour que le jeton soit jaune sa hant qu'il porte un numéro pair ?
6°) Exemples pratiques d'utilisation de probabilité onditionnelle
En génétique, la probabilité qu'un ara tère génétique se transmette au ours des générations su
essives et "s'exprime" (le gène du daltonisme peut être présent dans le génome d'un individu sans qu'il présente de troubles de la vue, on parle d'allèle ré essif) dépend des gènes des parents. On réalise parfois un "tableau de roisement" des gènes pour al uler la probabilité d'apparition d'une maladie génétique. C'est Georg Mendel qui le premier a dé ni les règles de la génétique moderne en s'appuyant sur des études statistiques de roisements de petits pois ! En méde ine épidémiologique, on est amené lors de tests sur des obayes à évaluer (par un al ul de fréquen e) la proba qu'un va
in déte te une maladie. Les va
ins n'étant pas parfait, il y aura des personnes malades non déte tées, et des personnes non malades qui réagiront quand même positivement au va
in. Pour évaluer l'e a ité du va
in, on ino ule le virus à des obaye, puis on teste le va
in. On évalue don (par le al ul de fréquen e) la probabilité que le test soit positif (événement T ) sa hant que le obaye est malade (événement M ). C'est à dire PM (T ). Et par utilisation des théorèmes pré édents, on al ule alors (de façon théorique) la proba PT (M ) 'est à dire la probabilité que le obaye est malade sa hant que le test est positif. Remarque : la probabilité PT (M ) ne pourrait-être onnue par des tests... la théorie mathématique joue don un r le essentiel.
