Optique ondulatoire 2 Dira tion
Sommaire Dira tion par des ouvertures planes
1
Limite de résolution d'un système optique due à la dira tion
3
Dira tion par un réseau plan
4
Interféren es à N ondes
5
Ly ée Gustave Eiffel Spé PT Année 2013/2014
Optique ondulatoire Interféren es
1
Dira tion par des ouvertures planes ✄ ✂1 ✁ Dira tion par les fentes de Young On onsidère la dira tion de la lumière par des fentes de Young, dans les onditions de Fraunhofer. Les fentes ont pour largeur ℓ selon (OX), pour hauteur L selon (OY), et sont distantes de a. Elles sont é lairées par un fais eau parallèle de lumière mono hromatique, de longueur d'onde λ0 , en in iden e normale. On étudie la dira tion dans le plan (OXz), vers un point M situé à l'in ni, −→ −−→ dans la dire tion formant un angle θ = (Oz, OM).
Soit s(M, t) l'amplitude omplexe dira tée vers M par une fente tive, identique aux fentes de Young, qui serait entrée en O (fente dessinée en pointillés sur le dessin). On hoisit omme rayon de référen e pour les al uls de déphasages le rayon dira té par le point O. 1. Exprimer s(M, t) en fon tion notamment de ℓ, L, λ0 et θ. 2. Montrer que l'amplitude omplexe s1 (M, t) dira tée vers M par la fente 1 s'é rit 2π a sin θ j λ0 2 s1 (M, t) = s(M, t) × e
é ran
ollimateur viseur
onvergente divergente
on ave
onvexe plan fo al miroir plan 3. De même, déterminer la relation entre l'amplitude omplexe s2 (M, t) dira tée vers M par la fente 2 et s(M, t).
ondenseur o ulaire s'é rit 4. En déduire que l'intensité lumineuse totale dira tée vers M par les fentes de Young obje tif πℓ 2πa réti ule I(θ) = Imax sinc 2 sin θ 1 + cos sin θ ÷il λ0 λ0 loupe 5. Interpréter ha un des fa teurs en sinc 2 ( ) et cos ( ). Tra er l'allure de la ourbe I(θ), en remarquant que ℓ < a. ✄ ✂2 ✁ Dira tion par un miroir plan étroit é ran Un miroir plan re tangulaire de largeur a selon (Ox) et de longueur b ≫ a se ollimateur lon (Oy) est é lairé par un fais eau parallèle de lumière mono hromatique de lonviseur gueur d'onde λ dans le milieu onsidéré. On note i l'angle d'in iden e de e fais eau onvergente sur le miroir, dans le plan d'in iden e (Oxz). On admet que le prin ipe de Huygens divergente Fresnel s'applique pour tous les points P du miroir atteints par l'onde. On note θ on ave l'angle, par rapport à la normale au miroir, d'une dire tion de dira tion possible
onvexe des rayons, dans le plan (Oxz). plan fo al
1. 2.
Justi er le fait qu'on étudie la dira tion uniquement dans le plan (Oxz). miroir plan Exprimer sous forme intégrale l'amplitude omplexe s de l'onde lumineuse dif ondenseur fra tée dans la dire tion θ. En déduire le al ul de s. o ulaire 3. Montrer que l'é lairement de l'onde dira tée dans la dire tion θ s'é rit obje tif 2 réti ule E = Emax sinc u ÷il loupe où u est une variable qu'on expli itera en fon tion de a, λ, θ et i.
4. 5.
Pour quelle valeur parti ulière de θ l'intensité lumineuse dira tée est-elle maximale ? Interpréter. À quelle ondition sur a peut-on négliger le phénomène de dira tion ?
✄ ✂3 ✁ Dira tion par un prisme de petit angle Une fais eau parallèle de lumière mono hromatique de longueur d'onde λ frappe en in iden e normale la fa e d'un prisme de sommet O et de petit angle α. Ce prisme a pour largeur OA = a selon (Ox) et pour longueur b ≫ a selon (Oy). On note n l'indi e de réfra tion du prisme pour la longueur d'onde onsidérée.
1. Dans le adre de l'optique géométrique, dessiner le trajet d'un des rayons du fais eau qui traverse le prisme et exprimer la déviation angulaire D subie par e rayon lors de la traversée du prisme, en fon tion de n et α ≪ 1.
ollimateur viseur 2 Optique ondulatoire
onvergente Interféren es divergente La présen e du prisme introduit un déphasage pour le rayon lumineux in ident à l'abs- on ave
onvexe
isse x, par rapport au as où le prisme serait absent. plan fo al 2. Exprimer la diéren e de mar he δpr (x) introduite par le prisme pour e rayon, en fon tion de n, α et x. miroir formant un 3. Exprimer l'amplitude omplexe s de l'onde lumineuse dira tée par le prisme dans la dire tion plan angle θ petit ave l'axe (Oz).
ondenseur 4. En déduire que l'é lairement de l'onde lumineuse dira tée dans la dire tion θ s'é rito ulaire obje tif πa E = Emax sinc 2 (n − 1)α − θ réti ule λ ÷il loupe 5. Pour quelle valeur de θ l'é lairement est-il maximal ? Interpréter. ✄ ✂4 ✁ Dira tion par un segment de droite Une in nité de sour es lumineuses in nitésimales se trouvent réparties de manière ontiz nue sur un segment de droite AB de longueur h dont les extrémités sont situées sur un B β axe (Oz) symétriquement par rapport à O. On admettra qu'en tout point P de e segment existe une sour e quasi-pon tuelle de longueur in niment petite dz . Toutes es sour es, P β
ohérentes et ontinuellement en phase, rayonnent dans le vide une même lumière mono hromatique de longueur d'onde λ. On se limite à l'étude des interféren es à l'in ni de O tous les rayons possédant une même dire tion d'angle β par rapport à l'axe (Oz) et situés dans un même plan ontenant et axe. Chaque sour e est ara térisable à l'in ni par une amplitude omplexe ds = A0 exp (jϕ) dz en xant ϕ = 0 pour la sour e située en z = 0. A 1. Exprimer, en fon tion de z et β , la diéren e de mar he δ à l'in ni entre le rayon issu du point P(z) et le rayon issu du point O. En déduire le déphasage ϕ orrespondant. 2. En sommant toutes les vibrations lumineuses dira tées dans la dire tion β , démontreré ran que l'amplitude résultante peut s'é rire sous la forme
ollimateur viseur h
onvergente sin π cos β λ divergente S = A0 1
on ave π cos β λ
onvexe plan fo al 3. Dans le as parti ulier où β = π/2, al uler la limite S0 de l'expression S pré édente puis exprimer S en miroir éliminant A0 au pro t de S0 et h. plan Pour obtenir l'amplitude résultante dans le as d'une droite in nie, il su t de reprendre le résultat pré édent
ondenseur en faisant tendre le rapport h/λ vers l'in ni. o ulaire dans la dire tion stri te4. Expliquer alors pourquoi, en valeur relative par rapport à l'amplitude S0 dira tée obje tif réti ule ment normale à la droite (Oz), ette amplitude S peut être onsidérée omme nulle dans toutes les dire tions β ÷il diérentes de π/2. loupe 5. Si l'on se satisfaisait d'un rapport h/λ ≃ 2 000, quel serait, dans le domaine visible, l'ordre de grandeur de la hauteur de fente su sante ? ✄ ✂5 ✁ Fente ne ave déphasage sur une moitié de la fente Une fente ne de largeur 2a selon (Ox) et de hauteur H ≫ a selon (Oy) est é lairée en in iden e normale par une lumière mono hromatique de longueur d'onde λ dans le milieu. Une lame ne est pla ée sur la moitié inférieure de la fente et ajoute un déphasage ϕ aux rayons traversant la lame. On s'intéresse à l'onde dira tée dans le plan (Oxz) et formant l'angle θ ave l'axe (Oz). 1. Exprimer l'amplitude omplexe S+ (θ) de l'onde dira tée dans la dire tion θ par la partie supérieure de la fente (y > 0).
2.
y x O
z
Exprimer l'amplitude omplexe S− (θ) de l'onde dira tée dans la dire tion θ par la partie inférieure de la fente (y < 0). 3. En déduire l'intensité lumineuse I(θ) dira tée par la totalité de la fente. 4. Montrer que pour ertaines valeurs de ϕ, l'intensité dira tée est nulle dans toutes les dire tions θ. Pouvait-on prévoir e résultat ?
Optique ondulatoire Interféren es
3
Limite de résolution d'un système optique due à la dira tion ✄ ✂6 ✁ Limite de résolution d'un système optique due à la dira tion Deux sour es lumineuses pon tuelles S1 et S2 , pla ées dans le plan fo al objet d'une lentille onvergente (L0 ) de distan e fo ale f0′ , symétriquement par rapport à l'axe optique, modélisent deux points objets à l'in ni. L'obje tif est modélisée par une fente ne F de largeur a selon (Ox) et de longueur très grande par rapport à a selon (Oy). L'é ran d'observation de l'image est pla é dans le plan fo al image d'une lentille onvergente (L) de distan e fo ale f ′ . Les sour es S1 et S2 sont supposées mono hromatiques de longueur d'onde ommune λ et de même intensité lumineuse. On note ℓ = S1 S2 . On s'intéresse dans un premier temps à l'intensité lumineuse I1 (x) observée sur l'axe (Ox) du fait de la seule sour e S1 . 1. Faire le tra é géométrique du fais eau lumineux issu de S1 et dira té par la fente jusqu'à un point M(x) situé sur l'axe (Ox). 2. Déterminer l'intensité lumineuse I1 (x) sur l'é ran en fon tion de x, f0′ , f ′, ℓ, a et λ. On notera I0 l'é lairement maximal dû à ette sour e. 3. Exprimer de même l'é lairement I2 (x) dû à la seule sour e S2 . Tra er sur un même graphe l'allure des
ourbes I1 (x) et I2 (x). On adopte le ritère de Rayleigh : on peut distinguer deux ta hes lumineuses dues à la dira tion lorsque la distan e entre leurs entres est supérieure à leur demi-largeur. 4. Montrer que l'on distingue les images de S1 et S2 données par le système optique à ondition que ℓ > ℓlim en donnant l'expression de ℓlim en fon tion de λ, f0′ et a. On se pla e dans le as limite où ℓ = ℓlim . On note I(x) l'é lairement total dû aux deux sour es. 5. Cal uler I(x = 0) au foyer image de l'é ran d'observation en fon tion de I0 . ✄ ✂7 ✁ Limite de résolution d'une lunette astronomique Une lunette astronomique, réglée sur l'in ni, omporte un obje tif de diamètre a = 80 cm et de distan e fo ale f ′ = 16 m. La lunette est dirigée vers une étoile E, émettant une radiation de longueur d'onde λ = 540 nm. On modélise l'obje tif par une lentille pré édée d'une pupille ir ulaire dira tante de diamètre a. L'intensité I dira tée dans la dire tion formant l'angle θ ave l'axe optique est donnée (en valeur relative) sur le graphe
i-dessous.
1.
Cal uler, en se ondes d'ar , l'angle θ = θ1 qui limite la ta he prin ipale de dira tion donnée par la pupille. Cal uler la demi-largeur de ette ta he dans le plan fo al de l'obje tif. 2. Cal uler les rayons ρ1 et ρ2 des deux premiers anneaux brillants obtenus dans le plan fo al de l'obje tif. La lunette est dirigée vers une étoile binaire dont les omposantes E1 et E2 ont la même luminosité. Les deux étoiles forment un angle apparent de ε. 3. Exprimer la distan e entre les entres des ta hes de dira tion pour les deux étoiles. On adopte le ritère de résolution de Rayleigh : deux points objets seront séparés par un instrument d'optique si la distan e entre les maxima des ta hes de dira tion est supérieure à la demi-largeur des ta hes de dira tion. 4. Cal uler la limite de résolution angulaire ∆θ de la lunette. Cette lunette a-t-elle pu séparer les deux omposantes de l'étoile γ de la onstellation de la Vierge don l'é art angulaire était de 0, 28′′ au début de l'an 2000 ? L'o ulaire de la lunette a pour distan e fo ale f0′ = 2 cm. On rappelle que le grossissement de la lunette s'é rit G = f ′ /f0′ . 5. Quel doit-être le diamètre d'ouverture maximal amax de ette lunette astronomique pour que le pouvoir séparateur de l'÷il ne limite pas elui de la lunette ? Donnée : pouvoir séparateur de l'÷il β = 6 · 10−4 rad.
4
Dira tion par un réseau plan
obje tif réti ule Optique ondulatoire Interféren es ÷il loupe
✄ ✂8 ✁ Mesure interférométrique du pas de gravage d'un CD Un disque ompa t est un disque de poly arbonate possédant sur l'une de ses fa es une piste très ne en forme de spirale d'Ar himède, d'équation polaire r = rm +
a θ 2π
laser ave rm < r < rM , rm = 22 mm et rM = 58 mm. Le long de ette spirale sont pressées (pour les disques de fabri ation industrielle) ou gravées les informations sous forme numérique. É lairée par un fais eau laser, la spirale se
omporte omme un réseau de pas a (utilisé en ré exion). Sur un grand tableau pla é derrière le laser, un expérimentateur relève alors la distan e 2ℓ1 entre les pi s d'ordres 1 et −1 d'une part, et la distan e 2ℓ2 entre les pi s d'ordres 2 et −2 d'autre part. Il obtient 2ℓ1 = 68 cm et 2ℓ2 = 195 cm, pour une distan e entre le disque ompa t et l'é ran D = 80 cm. La longueur d'onde du laser est λ = 632 nm. 1. Rappeler sans démonstration la formule fondamentale des réseaux. Cette relation est supposée valable aussi bien en transmission qu'en ré exion. 2. En déduire l'expression du pas a en fon tion de ℓp , D, λ et p l'ordre d'interféren es. 3. Cal uler la valeur de a. 4. Exprimer la longueur L de la piste de données en fon tion de rM , rm et a. Cal uler L. On suppose que la distan e entre deux bits d'information le long de la piste est de l'ordre de la moitié de a. 5. En déduire la apa ité de sto kage en Mo (mégao tets) du disque ompa t.
✄ ✂9 ✁ Réseau optique Un réseau plan de pas a = 4 µm reçoit un fais eau de lumière blan he de longueurs d'onde λ omprises entre 400 nm et 750 nm sous une in iden e θ0 . On se limite à l'étude du spe tre d'ordre 1. On pla e une lentille
onvergente de distan e fo ale f ′ = 80 cm perpendi ulairement à la normale du réseau. Le fais eau émergent est re ueilli sur un é ran pla é dans le plan fo al image de la lentille.
1. 2.
Faire un s héma du dispositif et rappeler sans démonstration la formule fondamentale des réseaux. Quelle valeur faut-il donner à θ0 pour que la longueur d'onde λ = 600 nm onverge au foyer image F′ ? Cette ondition est respe tée par la suite. 3. Déterminer la distan e entre F′ et les raies asso iées aux radiations extrêmes du spe tre. En déduire l'étalement du spe tre d'ordre 1. 4. Où sont situés les spe tres d'ordre 2 et 3 ?
on ave
onvexe Optique ondulatoire Interféren es plan fo al miroir plan N
ondenseur ✄ o ulaire ✂10 ✁ Interféromètre de Fabry-Perot obje tif Un interféromètre de Fabry-Perot est onstitué de deux lames pa-réti ule S rallèles L1 et L2 semi-ré é hissantes, supposées i i in niment min es, ÷il distantes de e. On note r le oe ient de ré exion en amplitude (quo- loupe θ tient de l'amplitude ré é hie sur l'amplitude in idente) et t le oe é ran
ient de transmission en amplitude (quotient de l'amplitude transmise
ollimateur sur l'amplitude in idente). L'observation se fait en un point M sur un viseur é ran pla é dans le plan fo al d'une lentille onvergente. La sour e S e onvergente est pon tuelle et mono hromatique de longueur d'onde λ. divergente 1. Exprimer la diéren e de mar he δ entre deux rayons su essifs en M.
on ave En déduire le déphasage ∆ϕ en M entre es deux rayons.
onvexe On note s0 l'amplitude omplexe de l'onde dire te en M ( 'est-à-dire plan fo al l'onde qui ne subit au une ré exion). miroir 2. Déterminer l'amplitude réelle sm du rayon ayant subi 2m ré exion, plan en fon tion de s0 , r et m.
ondenseur 3. En déduire l'amplitude omplexe sm du même rayon en fon tion o ulaire obje tif de s0 , R = r2 , ∆ϕ et m. réti ule 4. Déterminer l'amplitude puis l'é lairement E en M dû aux interfé÷il ren es entre l'in nité d'ondes issues de l'interféromètre. Montrer que loupe E0 E= 2 2F ∆ϕ 1+ sin2 π 2
Interféren es à
5
ondes
L1
L2
M
en donnant l'expression de la nesse F. ✄ ✂11 ✁ Réseau de dira tion é helette Un réseau est onstitué d'un grand nombre n de petites fa ettes parfaitement ré é hissantes in linées d'un angle γ par rapport au plan du réseau et séparées d'une O3 γ distan e a. Chaque fa ette, de largeur a cos γ , est é lairée en in iden e normale par une onde plane mono hromatique de longueur d'onde λ. On observe l'onde ré é hie à l'in ni dans la dire tion θ grâ e à une lunette. Les entres des fa ettes notés Ok pour θ a O2 k = 1 · · · n sont distants de a. On notera M un point quel onque d'un fa ette. 1. Rappeler le prin ipe d'HuygensFresnel. On note x la distan e entre un point M situé sur la première fa ette et O1 . O1 2. Exprimer, en fon tion de x et θ, la diéren e de mar he à l'in ni δ(M/O1 ) entre M les rayons issus des sour es se ondaires situées en O1 et en M. 3. En déduire l'amplitude omplexe s1 (θ) de l'onde ré é hie par la première fa ette. 4. Exprimer, en fon tion de a, γ et θ, la diéren e de mar he à l'in ni δ(O2 /O1 ) entre les rayons issus de O1 et O2 . Le déphasage entre es deux rayons sera par la suite noté ϕ. 5. Exprimer, en fon tion de s1 (θ), n et ϕ, l'amplitude omplexe de l'onde émise due aux n fa ettes. 6. En déduire que l'intensité totale I observée à l'in ni peut être mise sous la forme κ πa cos γ sin θ sin (nϕ/2) I = I0 sinc 2 Fn (ϕ) ave Fn (ϕ) = λ sin (ϕ/2)
où κ est une onstante que l'on déterminera. Comment s'interprète physiquement ha un des fa teurs intervenant dans l'expression de I ? 7. Quelle est la période de la fon tion Fn (ϕ) ? Tra er l'allure de la fon tion Fn (ϕ) pour n ≫ 1. 8. Pour quelle valeur θm de θ la fon tion sinc 2 (πa cos γ sin θ/λ) admet-elle un maximum ? Interpréter par rapport aux lois de l'optique géométrique. On souhaite que pour θ = θm , la fon tion Fn (ϕ) ait un maximum orrespondant à l'ordre d'interféren e p = 140. Ce réseau é helette permettrait don d'avoir un ordre d'interféren e p = 140 très lumineux pour une longueur d'onde donnée. 9. Déterminer l'angle γ orrespondant, en fon tion de a, p et λ. Appli ation numérique : al uler γ si λ = 431 nm et si le réseau ontient 32 fa ettes par millimètre.
Optique ondulatoire Interféren es
6 ✄ ✂12 ✁ Interféren es
dues à trois fentes nes
Une onde plane mono hromatique, de longueur d'onde λ, é laire sous in iden e x normale une plaque per ée de trois fentes nes F1 , F2 et F3 parallèles, équidisF3 tantes de a et de même largeur très faible par rapport à a. On observe la gure M O F2 d'interféren es dans le plan fo al image d'une lentille onvergente de distan e ′ fo ale f et d'axe optique orthogonal à la plaque, en un point M d'abs isse x. F′ F1 1. Dessiner les trajets des 3 rayons lumineux qui interfèrent en M. 2. Exprimer les diéren es de hemins optiques δ1 = (F1 M) − (F2 M) et δ3 = (F3 M) − (F2 M), en fon tion de a, x et f ′ . 3. En déduire l'amplitude omplexe s de l'onde lumineuse en M, en prenant pour origine des phases elle de l'onde reçue en M et émise par F2 . 4. Exprimer l'é lairement E en M en fon tion de a, x, λ, f ′ et E0 l'é lairement reçu en x = 0. 5. Quelle est l'expression de l'interfrange i de la gure d'interféren e ? Tra er l'allure de E(x). La fente F2 du milieu, plus large, laisse passer une intensité lumineuse double par rapport aux fentes F1 et F3 .
