DEVOIR SURVEILLE 3 Ce sujet omporte 4 pages. On atta hera le plus grand soin à la réda tion des résultats. La al ulatri e est autorisé. Au un do ument est autorisé. Le sujet est à rendre ave la opie.
Exer i e 1
(7 points)
:
. La ourbe Cf donnée en annexe 1 est la représentation graphique dans un repère orthogonal d'une fon tion f dénie, dérivable et stri tement dé roissante sur l'intervalle [1 ; +∞[. La ourbe Cf passe par le point de oordonnées (3 ; 0) ; on sait de plus que la droite d'équation y = −2 est asymptote à la ourbe Cf . Pour les andidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spé ialité
Étude préliminaire de f Dans ette partie, au une justi ation n'est demandée. re partie
1
1.
Donner la limite de f en +∞.
2.
Résoudre graphiquement l'équation f (x) = 0.
3.
Pré iser le signe de f sur [1 ; +∞[.
Étude d'une fon tion omposée Pour ette partie, des justi ations sont attendues. Soit la fon tion g dénie sur l'intervalle [1 ; +∞[ par g(x) = e partie
2
1.
Déterminer la limite de g lorsque x tend vers +∞.
2.
Résoudre sur l'intervalle [1 ; +∞[ l'équation g(x) = .
1 . f (x) + 2
1 2
e partie
3
La fon tion f est la dérivée d'une fon tion F dénie sur [1 ; +∞[. 1.
2.
La fon tion F est représentée sur l'une des 3 ourbes données en annexe 2. Pré iser laquelle, en justiant votre réponse. Déterminer graphiquement F (2) et F (3) ave la pré ision permise par le graphique.
Exer i e 2
(7 points)
:
Commun à tous les andidats
On s'intéresse à la population des personnes âgées de plus de 65 ans d'un ertain pays en 2006. Dans ette population : 58 % sont des femmes ; 5 % des personnes sont atteintes d'une maladie in urable appelée maladie A et parmi elles- i les deux tiers sont des femmes. On hoisit au hasard une personne dans ette population. On note : F l'évènement : la personne hoisie est une femme ; H l'évènement : la personne hoisie est un homme ; A l'évènement : la personne hoisie est atteinte de la maladie A ; A l'évènement : la personne hoisie n'est pas atteinte de la maladie A .
Les résultats seront arrondis au millième. 1. 2.
Traduire les données au moyen d'un tableau que vous ompléterez en justiant les al uls. a. b.
. d.
3.
4.
Donner la probabilité de l'évènement F et elle de l'évènement A. Donner la probabilité de l'évènement F sa hant que l'évènement A est réalisé, notée pA (F ). Dénir par une phrase l'évènement A ∩ F puis al uler sa probabilité. Montrer que la probabilité de l'évènement A sa hant que F est réalisé est égale à 0, 057 à 10−3 près.
La personne hoisie est un homme. Démontrer que la probabilité que et homme soit atteint de la maladie A est égale à 0, 040 à 10−3 près. Peut-on armer que, dans e pays en 2006, dans la population des personnes âgées de plus de 65 ans, une femme risquait davantage de développer la maladie A qu'un homme ? Justier.
Exer i e 3
(6 points)
:
Commun à tous les andidats
On onsidère les fon tions suivantes dénies sur ]5; +∞[ a) f (x) = (2x − 3)2
b) g(x) = −2x2 + 3x −
3 +2 x2
c) h(x) =
(x2
x − 5)2
1.
Cal uler les primitives des fon tions f , g et h.
2.
Cal uler les limites en +∞ des fon tions g et h. Pré isez les asymptotes si né éssaires.
3.
Cal uler la primitive de h, notée H , vériant H(0) = 2
Exer i e 4
(14 points)
:
Commun à tous les andidats
On onsidère la fon tion dénie sur ] − 1; +∞[ par f (x) =
2x2 − 13x − 13 x+1
On note C la ourbe représentative de la fon tion f . PARTIE A
Déterminer deux nombres a et b tels que f (x) = ax + b +
Dans la suite, on supposera que f (x) = 2x − 15 +
c x+1
2 . x+1
PARTIE B
1.
2.
a.
Cal uler la limite de f en −1.
b.
Que peut-on en déduire graphiquement ?
a.
Cal uler la limite de f en +∞.
b.
Montrer que la droite D d'équation y = 2x − 15 est asymptote à la ourbe C .
.
Etudier les positions relatives de la ourbe C par rapport à la droite D.
PARTIE C
1.
Cal uler f ′ (x).
2.
Etudier le signe de la fon tion f ′ sur l'intervalle ] − 1 ; +∞[.
3.
En déduire le tableau de variation de la fon tion f sur l'intervalle ] − 1 ; +∞[.
4.
a.
b. 5. 6.
Montrer que l'équation f (x) = 0 a une seule solution sur l'intervalle [−0, 9; 0] et sur l'intervalle [0; 10]. Donner un en adrement à 10−2 près de ha une des solutions.
En déduire le signe de f (x) sur l'intervalle ] − 1 ; +∞[. Donner ave soin une représentation graphique de la fon tion f et de ses asymptotes sur l'intervalle [−0, 9; 10].