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AnF. 0,057. 10-3. 0,040. 10-3. 05; +[. 3 x a) f(x) = (2x - 3)2 b) g(x) = –2x2 + 3x – ... f(x) = 2a fa 2x2 – 13x – 13 x + 1. Com а ь f(x) = ax +b+ x + 1. 2 f(x) = 2x – 15+.
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Durée :

Jeudi 16 novembre 2010

TerES

3 h

NOM :

DEVOIR SURVEILLE 3 Ce sujet omporte 4 pages. On atta hera le plus grand soin à la réda tion des résultats. La al ulatri e est autorisé. Au un do ument est autorisé. Le sujet est à rendre ave la opie.

Exer i e 1

(7 points)

:

. La ourbe Cf donnée en annexe 1 est la représentation graphique dans un repère orthogonal d'une fon tion f dénie, dérivable et stri tement dé roissante sur l'intervalle [1 ; +∞[. La ourbe Cf passe par le point de oordonnées (3 ; 0) ; on sait de plus que la droite d'équation y = −2 est asymptote à la ourbe Cf . Pour les andidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spé ialité

Étude préliminaire de f Dans ette partie, au une justi ation n'est demandée. re partie

1

1.

Donner la limite de f en +∞.

2.

Résoudre graphiquement l'équation f (x) = 0.

3.

Pré iser le signe de f sur [1 ; +∞[.

Étude d'une fon tion omposée Pour ette partie, des justi ations sont attendues. Soit la fon tion g dénie sur l'intervalle [1 ; +∞[ par g(x) = e partie

2

1.

Déterminer la limite de g lorsque x tend vers +∞.

2.

Résoudre sur l'intervalle [1 ; +∞[ l'équation g(x) = .

1 . f (x) + 2

1 2

e partie

3

La fon tion f est la dérivée d'une fon tion F dénie sur [1 ; +∞[. 1.

2.

La fon tion F est représentée sur l'une des 3 ourbes données en annexe 2. Pré iser laquelle, en justiant votre réponse. Déterminer graphiquement F (2) et F (3) ave la pré ision permise par le graphique.

Exer i e 2

(7 points)

:

Commun à tous les andidats

On s'intéresse à la population des personnes âgées de plus de 65 ans d'un ertain pays en 2006. Dans ette population :  58 % sont des femmes ;  5 % des personnes sont atteintes d'une maladie in urable appelée maladie A et parmi elles- i les deux tiers sont des femmes. On hoisit au hasard une personne dans ette population. On note : F l'évènement :  la personne hoisie est une femme  ; H l'évènement :  la personne hoisie est un homme  ; A l'évènement :  la personne hoisie est atteinte de la maladie A  ; A l'évènement :  la personne hoisie n'est pas atteinte de la maladie A .

Les résultats seront arrondis au millième. 1. 2.

Traduire les données au moyen d'un tableau que vous ompléterez en justiant les al uls. a. b.

. d.

3.

4.

Donner la probabilité de l'évènement F et elle de l'évènement A. Donner la probabilité de l'évènement F sa hant que l'évènement A est réalisé, notée pA (F ). Dénir par une phrase l'évènement A ∩ F puis al uler sa probabilité. Montrer que la probabilité de l'évènement A sa hant que F est réalisé est égale à 0, 057 à 10−3 près.

La personne hoisie est un homme. Démontrer que la probabilité que et homme soit atteint de la maladie A est égale à 0, 040 à 10−3 près. Peut-on armer que, dans e pays en 2006, dans la population des personnes âgées de plus de 65 ans, une femme risquait davantage de développer la maladie A qu'un homme ? Justier.

Exer i e 3

(6 points)

:

Commun à tous les andidats

On onsidère les fon tions suivantes dénies sur ]5; +∞[ a) f (x) = (2x − 3)2

b) g(x) = −2x2 + 3x −

3 +2 x2

c) h(x) =

(x2

x − 5)2

1.

Cal uler les primitives des fon tions f , g et h.

2.

Cal uler les limites en +∞ des fon tions g et h. Pré isez les asymptotes si né éssaires.

3.

Cal uler la primitive de h, notée H , vériant H(0) = 2

Exer i e 4

(14 points)

:

Commun à tous les andidats

On onsidère la fon tion dénie sur ] − 1; +∞[ par f (x) =

2x2 − 13x − 13 x+1

On note C la ourbe représentative de la fon tion f . PARTIE A

Déterminer deux nombres a et b tels que f (x) = ax + b +

Dans la suite, on supposera que f (x) = 2x − 15 +

c x+1

2 . x+1

PARTIE B

1.

2.

a.

Cal uler la limite de f en −1.

b.

Que peut-on en déduire graphiquement ?

a.

Cal uler la limite de f en +∞.

b.

Montrer que la droite D d'équation y = 2x − 15 est asymptote à la ourbe C .

.

Etudier les positions relatives de la ourbe C par rapport à la droite D.

PARTIE C

1.

Cal uler f ′ (x).

2.

Etudier le signe de la fon tion f ′ sur l'intervalle ] − 1 ; +∞[.

3.

En déduire le tableau de variation de la fon tion f sur l'intervalle ] − 1 ; +∞[.

4.

a.

b. 5. 6.

Montrer que l'équation f (x) = 0 a une seule solution sur l'intervalle [−0, 9; 0] et sur l'intervalle [0; 10]. Donner un en adrement à 10−2 près de ha une des solutions.

En déduire le signe de f (x) sur l'intervalle ] − 1 ; +∞[. Donner ave soin une représentation graphique de la fon tion f et de ses asymptotes sur l'intervalle [−0, 9; 10].

FEUILLE ANNEXE 1(à rendre ave la opie)

re partie

Exer i e 1, 1

13

Cf

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 −1

1

−1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

−2 −3

FEUILLE ANNEXE 2

e partie

Exer i e 1, 3

Courbe n o1

−1 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 10 11 12 13

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

C1

Courbe no2 2 1 −1 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 10 11

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

C2

Courbe n o3 6 5 4 3 2 1 −1 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7

C3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11