Cours: Problèmes inverses

Professeur: A. MohammadDjafari

Exer i e numéro 4: Dé onvolution par moindres arrés et régularisation: Cas ontinu Problème 1: Dé onvolution Considérons le problème de la dé onvolution où le signal mesuré g(t) est relié au signal d'entrée f (t) et à la réponse impulsionnelle h(t) par g(t) = h(t)∗f (t)+ǫ(t) et où on her he à estimer h(t) et f (t) à partir de mesure de g(t). 1. Supposons d'abord h(t) onnue (dé onvolution simple). Dénissons la solution fb(t) par  fb(t) = arg min kg − h ∗ f k2 + λ1 kdf ∗ f k2 , x

où df (t) et λ1 sont onnues et xées et où la norme kzk2 signie 2

kzk =

Z

|z(t)|2 dt.

Montrez que ette solution peut être al ulée par F (ν) =

H ∗ (ν) G(ν), |H(ν)|2 + λ1 |Df (ν)|2

où F (ν) et G(ν) sont les fon tions densité spe trale de puissan e (dsp) de f (t) et de g(t) et H(ν) et Df (ν) sont les TF de h(t) et de df (t). 2. Que devient ette solution lorsque λ1 = 0 ? 3. Quel est le rle de df ou Df (ν) ? Comment le hoisir ? 4. Cher hons maintenant à estimer h(t) à partir de la mesure de g(t) et de f (t) (identi ation). Dénissons la solution bh(t) par  b h(t) = arg min kg − h ∗ f k2 + λ2 kdh ∗ hk2 . h

Montrez que ette solution peut être al ulée par H(ν) =

|F (ν)|2

X ∗ (ν) G(ν). + λ2 |Dh (ν)|2

5. Que devient ette solution lorsque λ2 = 0 ? 6. Quel est le rle de dh ou Dh (ν) ? Comment le hoisir ? 7. Supposons maintenant qu'on souhaite estimer h(t) et f (t) à partir de la seule mesure de g(t) (dé onvolution aveugle). Peut-on envisager de dénir la solution par    fb(t), b h(t) = arg min kg − h ∗ f k2 + λ1 kdf ∗ f k2 + λ2 kdh ∗ hk2 ? (x,h)

Pourquoi? Ce ritère a-t-il une seule solution. Commenter votre réponse.

Problème 2: Dé onvolution  Cas dis ret Considérons maintenant le même problème dans le as dis ret et faisons l'hypothèse que le système est

ausal et que les signaux sont ausaux et à durée limitées et notons h = [h0 , · · · , hp ]t , f = [f0 , · · · , fM ]t et g = [g0 , · · · , gM ]t . 1. Trouvez la matri e H de telle sorte que l'on puisse é rire g = Hf + b. 2. Quelle est la stru ture de ette matri e ? 3. Comment peut-on rendre ette matri e ir ulante ? 4. Trouvez la matri e F de telle sorte que l'on puisse é rire g = F h + b. 5. Quelle est la stru ture de ette matri e ? 6. Comment peut-on rendre ette matri e ir ulante ? 7. Supposons d'abord h et g onnus. Dénissons la solution fb par

 b = arg min |g − Hf |2 + λf |Df f |2 , f f

où D f est la matri e de la diéren e nie (approximation de la dérivation d'ordre un). 8. É rivez l'expression de ette solution. 9. Que devient ette solution lorsque λ = 0 ? 10. Proposez une méthode pour al uler ette solution et ommenter votre hoix. 11. Supposons que nous avons rendu les matri e H et D f ir ulantes. Montrez alors que ette solution peut être al ulée par F (ν) =

|H(ν)|2

H ∗ (ν) G(ν), + λ1 |Df (ν)|2

où F (ν) et G(ν) sont les TF de f (t) et de g(t) et H(ν) et Df (ν) sont les TF de h(t) et de df (t). b: 12. Supposons maintenant f et g onnus. Dénissons la solution h

 b = arg min |g − f h|2 + λ2 |Dh h|2 h h

où D h est une matri e onnue.

13. É rivez l'expression de ette solution. 14. Que devient ette solution lorsque λ = 0 ? 15. Proposez une méthode pour al uler ette solution et ommenter votre hoix. 16. Supposons que nous avons rendu les matri e H et D f ir ulantes. Montrez alors que ette solution peut être al ulée par H(ν) =

|F (ν)|2

X ∗ (ν) G(ν). + λ2 |Dh (ν)|2

où F (ν) et G(ν) sont les TF de f (t) et de g(t) et H(ν) et Df (ν) sont les TF de h(t) et de df (t). 17. Supposons maintenant qu'on souhaite estimer h et f à partir de la seule mesure de g (dé onvolution aveugle). Peut-on envisager de dénir la solution par  b , h) b = arg min |g − f h|2 + λf |Df f |2 + λ2 |D h h|2 (f (f , h )

Pourquoi? Ce ritère a-t-il une seule solution. Commenter votre réponse.