Fast Monte Carlo Algorithms for Matrices II: Computing a Low

С and Т. Methods such as the Singular Value Decomposition (SVD) may be used to ... then it is shown that from М approximations to the top singular values and ...
Télécharger le PDF
383KB taille 1 téléchargements 266 vues
commentaire
Report
                        

   

    

        ! 

                                                                                   !     "           #               $    

 $ !     $                                   $     "  $       %    $  $              &               &            $        '  (                                                  $       $       &       $                                    )  (                          

 

 ' *   !             +  ,   +,  $      

$               )     +,   !                          '  (              !                   $             +,   !  $                                     (   (Æ    Æ  -      #                   .    $ $                   &             

            $                   !         $            

            

           /  

£ Ý Þ Ü

               ! ""        #$  %$    # & '( ! ""    )  *    +"   ,   #$  %$    # & '( ! ""

                                                           !                  

 !        ! " #$ %&         '         (        !$  !       (    

         (    !      $          (        )  *   )*      !      (  +     (        $ $     $   ,     -     -  (  .,/     )*       (     .,/    ,    ,   0-1Æ       $             (     $     )*   ' $       ' " #$ 2&   

 $         (        !    -,    

 ! (  -, ! "3$ 4$ 5%$ 2$ 53$ 54$ 26$ 5#$ 52&   

  $ $    !$ 7*    $   (8   $  (    $         $ 9  :   (  !     ;         -           0     *         " 4$ 5  ! $  ,        

     (         $      $ !        "%& ;   (   =  

 !      (    =  " 4$ 56& (  '                 (     

          *              .)  0 8 /     8   (         -   (  "55$ 2 $ 5 & ;      '                ! (  !  ,            ?                 $     ! $          -, 

 !   $    '        @        (  (        !   >   ! $          > (          =    2 $       =   $                         !  (      ,              ?        , 













  



















































 

                ((       9 5  ;     (        !   )*$      ,     !    !      ?     )*   ;     $   

     A

       



     

 

  

 

> A       !

       #$

   !     

 !  ! (      9          !  ;$        (   (        !         )*   ;                $ (     ,       $ $   $  6      ((   >                !    ; =    ,    !     ,         + (          (         ,    (   > (         $         (         ,     ! (    ;  ((  (                    (   8              , =    ,     -, ! 

 !      ,  >$ B$     " C&    " 3&      (  ,     -    - (!     ( (            > (               ;                    (!          (             (!   - $       $          ((  '          ?     ,$         " C&   (                - (! '            $  =    ,   01Æ    -     " 2$ #&    $      D         " C&    > (               +     ' D    " C&         

 ! !        " #&  " 5&     E D-   '     $            =     (                  '   !$              (               , " 2$ #& ;      (     !    

  " $ 6&$ (                              !      >         $   (          $     (        (   Æ  $    (( $                %            ,$ *            -, 

 !     D   ' "5$ & ;       ,          +      :   $                -, 

 !    ! *      "5$ &               " $ 2$ C&       

  +        " C&  "5$ &                 '    

 !     *    , $  -        (       ( 



  



Æ





Æ



























5

  $     $               $           5   

              2              ($  0-1Æ   $   

 ! !         (  !   ;$    <          

 !    $     $ 

       #           

 !    $      $       > $    %           



   

;    

        

 ! (  -, !          

                



     

:   !    '               (   "3$ 4$ 5%& *

     !      (      !  (      '         ( $ (              (                        (     (           :   ! :               (     !     (                  ( ( (          '               

            :        -  !$ $  !   $  -    -  *         -      '    -      $   -               '    -           @   $  (        (         (  '     (  $      $ =        ( (        ,                                ( ,         

(       (   





























   

7*      (        (     

       !                 !      "2$ 53$ 54&         $   (       !       $               $   (     (      *     (  -  !       D  $ $   D !      ;      !    (     !   $      !         !       >   !$ (      !       -                 !            -      (   ! 











2





; !  -,     (                  Æ         !      )   $         !  $ (         !       D             !   $     -, 

 !       ,     (       (  $ $                $   (         !          1!     (     ,       (   -!  $       $         ,$ (    Æ        



         

*

     -, 

 !             $             (8   $         (  "26$ 5#& ;                  (                       *    

       (   !        !         ;$    $       $  !      (  $     - !     -  ;  $   $                       $                !  8  

     ;        !  ,                         !       ;            8  (                 =     ,    ;$     $    8                        (





 











  !  

;  (      !        ,      ,           (     ( B ( "52& ;   $   ! $     = (           '      ,  -( (   $     (                      !-( ,         (  !-(  $    =  (         (     $ $     ! ,   *   =  (  (           $ 

    (    ;$  !    = $   6       -     -    B (    =  -  $  $    (              E      (   = !    $        1   $   !  !   (       (     ;    

 (   =           $  8       (!                    ,              (                

 











 






              ;          -  '             $      $ $      $           $ $      $        ;          (      !   =  (       9  9  9 6$  ,  9 $    9 $       9           !     =    $       !     =    $  F        (-!  F$ 















 



     



        "       

 



9 F  



9

 

 

   

 "      

 













#

7                       !     ,           =



 

 

   



9



F 



  



9

 

 











   

%





 







 



  9   9   9 9 $ $     





 8         (         > $     ( (      (   , 

 !     (  $ $





Ê¢ ,



  

  ʢ , 



    

   

9

9





    



9

   

C



 



3



 

9





;$             *    , 

 !        (             $          9      9   >   (        ,       D (    (   (   D (            "5C$ C&   $    $ A









!

!

 



   

    ? !      ! 





  ? !      !  









;  '   ,    E D-   '  %

4

 6



" #  ! $%Æ   

; 0-1Æ    -                  (  (              ,  $ $ '   $      $   )*             (     " #$ 2&   0-1Æ             (           )*        ' (     ;     (     ,$           (   (   $   (          -      " #&      



" #    & '  

;        

 !       

     " #&             $      $   ((  (   $   (  $       $  $       !              (          !                (     *           

 ((  (         -   *            ( $       (    ((     8    

 $       ((                                 

 !               9   " #&        

"



#

" 

 "

#









#



"

$

 %       "             6           $    9 











  

 

  "  $     "     



¼

 ¼



 

¼

#             #   "  

 5  "  #  $  "        Æ  6   % 9 ? C$   Æ          Æ  %  "    2 "  #  $

     













 " #&                ((   (        $   (         9     $        " #&      (          ((           

" 



 

         ! (!  !





G   !      

 !                     (               3

 *  

&  '    $         $     6     (  ' &      ' 9   









'





9 



>  9

 $

     * " 9 (& 9  $ ( 9  

   9       

              9      

   ) 9       ' 9  

) & $  &   9 ) $    ' 9   ) )

0,













/





> 5A ;















 *  







  



/







  

o O 





O





3





o



 



 

> 2A    



 *  

 



   ?  ;  (        ,     ! $    (  

        !   $                       ! $   ( 

 !               $     ,   ;     (       !                            ;      (  > 5  ,     !       

 !                 

  7   (        9 F   *                > 2 ;      (  !                (  !             (   $    ((       8   $             ((  

 !          













C







& *







    9

 $

     * " 9 (& 9  $ ( 9          A ' 9   

   9        7      !      )*

  /   / 9      

>  ' 9  0$ ) 0,      * " 9 (& 9 / $ ( 9    )    9   0/  

                  9     , , 

   (    $  . 9  66$ 1     (    $  . 9  66

: 1 9  !' A    .   



)                   ,   ) )

0,











































>  #A    

  *   2



0

             $        ;      !      '            ;$   $     '         $         '           ;                    (    .   /     $                      H  (    ; !         ' !-          '          9         

  



 

&

)

0

0



 



0

   (! )

; (    !                      

           (    =       : #           $   ! (      



           



   



 

%% 1 

  

 







     









 



4

            1.   







! )   E D-   ' $     



 

     



  







     



  



 



  

   

      

  













24





 $   $   

 



    















      





 



 

      



          















  :

# (      >                  !         $       (    , 

 !        (   (       (   K             > (    (       (   K    :,$       $              (       (   K                 > (          ;    " C& '  (       (   K   K          > (         (   )  ,         '      (     (  '        '        

 !            ((     " (   (      ,              " C&       > (   (        









2 3#$% "

   ,  ,                A  *  $ *  >$   $ >, $            ,  ,  *    >,             " &$ $  8     "5&$                 > $    ,  ,  7   >     

 

    ,

     " &  *    >  >       , ! 

 ! 

  "5&  *    >  >       , ! 

 !       %% &  &'         $  % L% C$ 566  "2& + * $ 0+ @ $   @             -  !              (   &      $ 43 CA 6 6 L 6 6%$ 5666 "  -      

 ! !          ./ &  #000            $            A        

 ! !     ; )  N*:1ORR;)- 53 $ N  O        $ 7 E $ ;$ >( 566$ ) B$      >  -      =  -, 

 !       %1  &  #000            $  236L23C$ 44C " 4& GE G (  >  :  '       P  E , O  0$ @  $ 4C4 "56& )* E   ) P   '   & 

 (  O  0$ 7 N ,$ 4C# "5 & 0  , (  ( $     $ (              . &  #000            $  C4L 43$ 5666 "55& P B ( ;      -(            /1  &  &'         $  #44L%6C$ 443 "52& P B ( *         ,         1  &  &'-#&'     )

  &  $  %%CL%33$ 44C "5