IFT2015 17 Arbre 2-3-4

26 nov. 2013 - promotion corres- pond. `a découpage. («éclatement») en ascen- dant x u y u x. Promotion. A. B. C x. A. B. Découpage v y u x v rang r rang r.
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IFT2015 17

Mikl´os Cs˝ ur¨os

26 novembre 2013

Arbre 2-3-4

17.1

Arbre rouge-et-noir et l’arbre 2-3-4 y

x

y

z

4-nœud

x

z

A

B

C

A

B

C

D

En fusionnant le nœuds rouges avec leurs parents noirs, on obtient un arbre 2-3-4 : c’est un arbre de recherche non-binaire o`u chaque nœud fusionn´e comprend

D

x

x 2-nœud

A

B

A

y

x 3-nœud de gauche

x

C

A

A

i. soit 1 cl´e et 2 enfants (un seul nœud noir),

B

ii. soit 2 cl´es et 3 enfants (nœud noir avec un enfant rouge),

y B

iii. soit 3 cl´es et 4 enfants (nœud noir avec deux enfants rouges),

C

Par la propri´et´e d’´equilibre chez les arbres rougeet-noir, toutes les feuilles de l’arbre 2-3-4 sont au mˆeme niveau (une feuille est un nœud interne dont tous les enfants sont externes)

B

x

x

y

A B

y

3-nœud de droite A

B

C

C

R EMARQUE . Sedgewick et Wayne parlent des arbres 2-3. Un tel arbre correspond a` un arbre rouge-et-noir, dans lequel l’enfant gauche peut eˆ tre rouge mais non pas l’enfant droit (left-leaning red-black tree). En cons´equence, dans la repr´esentation 2-3, un nœud poss`ede soit une cl´e et deux enfants (2-nœud), soit deux cl´es et trois enfants (3-nœud gauchiste).

17.2

Insertion dans un arbre 2-3-4

On peut adapter les op´erations de l’arbre rouge-et-noir a` l’arbre 2-3-4. Par exemple : qu’est-ce qui se passe lors d’une insertion ? On cr´ee un nœud rouge, on performe des promotions en ascendant vers la racine, avec une rotation possible a` la fin. Ceci correspond a` une s´equence de d´ecoupages, suivi par une d´ecalage dans le cas de l’arbre 2-3-4.

1

y

rang r

u

Promotion

v

u

x

promotion correspond a` d´ecoupage («´eclatement») en ascendant

rang r+1

y

rang r

v

x

y u

y

C

v

Découpage

D

u

v

E A

x A

x

B

C

D

E

B

Rotation

y

z

z

x

y

x

rotation correspond d´ecalage

a`

z

Décalage

y

C

x

D

A

z

B

y

C

D

x A

B

y

(nouvelle racine)

promotion de la racine correspond a` la cr´eation d’une nouvelle racine

u

y

C

D

E

x A

Découpage

v

B

2

x

A

u

B

v

C

D

E