## Linear Inverse Problems - Ali Mohammad-Djafari

1 Introduction and some examples. 3. 1.1 Some ... 4.1 Â£ ikelihood76 unction andÂ¤Â§8Â£ solution . ..... The optimum solution is the stationnary point oâ¢6Ë âTâ¡Ã§â¢BWÃ'Â¼â ..... is another quantity which can be usedâ6 or the design oâ¢6 the matri â .
  

  

!



 

" #\$%&'( 

)+*-,/.103254766&498;:[email protected], E[email protected] V [email protected]=Z[[email protected]\]M^RX_a`[email protected]=GOgdehIXbi`c\kjTgl\[email protected]\9j o \[email protected]+RK_s^RXM=GnN V IKZtN suRXMOGON V IXZ[NXv9wxszy]{T|T|T|}v o~ E î å ó aÁf"Ë ! ä #Xå W å ó å [ í ó W âÊ[ /ÈxÈY×ÏÂHÃÅÊ]ÁméØxäÏÇhÐØ aÁm%Ë ! ä #l_ &Jé ØxäX×ÏÈÉÑØxÈcÈxÉ ã(Ã 'uaÁf"Ë ! ä # '*) _ © ¾îcä]Ã© Ê aÁm Ë ! ç\$#_ W å ó å [ í ó Ç²ÊÏêõÉ \$±Øxä]Ã^Â?ÇhØrÌYÉ  å ó å É¿ÈÉ¿Æ¿Æ  Ä=ÁÊÏêÏÉÑØxÉÑÁÊµÊ]Ã©ê é éaÃÅÂ?ÇfàïäµÇ©Ë²+ Ã 'uÁf" Ë ! ç\$# '*)-,.,¹©¾

ñ ó ñ->S ç ó ç  é ØxäÏÉ¿ÈÈrÁÆ¿×ÏØxÉÑÁÊñÄÇ²ÊõÐ9ÃÓÉ¿ÊKØrÃÌxÍÏÌxÃØrÃ©ê é Ã©É¿Øxä]ÃÌÎÇ²È Â?É¿ÊµÉ¿Â?ÉãÃ ç ó ç È¾ÞØ¾ ñ ó ñ _ T )U

Â É¿ÊÏÉ¿Â?ÉãÃ ñ ó ñ È¾ÞØ¾ ç ó çÃ_ T )  ÚÊñØxäÏÃÏÌYÈrØcÄÇ²ÈrÃ^Øxä]Ã^ÈrÁÆ¿×ÏØxÉÑÁÊñÉ¿ÈÛÉÑË²Ã©Ê[ÐKà xØ ä]ÃÅÈrØxÇhØxÉÑÁÊµÇhÌxàïÍkÁÉðÊDØÁ\$

çë _ Ã

ç

ÐW ç c*9[ _ ç ó ç >=IoW ä j åèç [ ó W ä j åèç [Xj T )U w

WBfå[

WBºÊ[

 ç  _ Õ ç j¹ÕV= å ó W ä j åèç [ _  jH4çÃ W ÕDK[ ë _ W å ó å  =  & [ í>î å ó ä =ïäÏÇ²ÈØrÁuÐ9Ã/Änä]ÁÈrÃ©ÊïÉ¿Ê Èx×ÏÄnä ÇuéaÇfà?ØxäÏÇhØVñ ó ñ _ T )U ¾5þSÊb\$lÁ²ÌxØx×ÏÊÏÇhØrÃ©Æ¿à é ÉÑØaÉ¿ÈaÊ]Á²Ø¤Í9ÁÈxÈxÉ¿ÐµÆÑÃcØrÁ Á²ÐÏØxÇ²É¿Ê Ç²ÊñÃnXÍ}Æ¿É¿ÄÉÑØÃnTÍÏÌxÃ©ÈxÈxÉ¿ÁÊð\$dÁ²Ì"t = Ç²ÈcÇ/\$l×ÏÊµÄ=ØxÉÑÁÊïÁ\$ T U) ¾ ÚÊõØxä]ÃÅÈrÃ©Ä=ÁÊÏêtÄÇ²ÈrÃÅØxä]Ã^ÈxÁÆ¿×]ØxÉÑÁÊñÉ¿ÈÛÉ¿Ë²Ã©ÊõÐXà Øxä]ÃÅÈxØxÇhØxÉÑÁÊÏÇhÌxàïÍ9ÁÉ¿ÊKØaÁ\$

6W ç c*9[ _ W ä j åèç [ ó W ä j å%ç [O;=IW ç ó ç j T ) [

W ÕT[

 ç  _ Õ å ó W ä j åèç [8j VÕ = Ã ë _ Wå óå M  = & [ í>î å ó ä ç _  jH4çÃ

W Õ²ÕÊ[



+ÃuÄÇ²ÊñÌYÃ©Â?ÇhÌxèïØxäÏÇhØÎÉ¿ÊïÐ9Á²ØxäñÄÇ²ÈrÃ©È/éaÃÓÁ²ÐÏØxÇ²É¿ÊñØxä]ÃuÈxÇ²ÂHÃ-\$lÁ²ÌYÂ ë _ Wå óå >  S & [ í>î å ó ä ç

W Õ²ÔÊ[

Õ

  ç9  __

Z  W ç j ç ^ X[ j å ó 9 _  åèç j ä _

W Õ²íÊ[

@ Z  j å ó @ ç j ç^ @  _ 9 A ä j èå ç ^ A+_ å  A

W ÕÊ[

Z  Z   ç9ë __ ç W å ^ Z í>î å >í î ó å [ >í ó î W åW ä j >í èå î ç å ^ ó [ [ í>î W ä j åèç ^ [

W ÔDK[



W ç j ç ^ [ ó Z  W ç j ç ^ [ÒÈ¾ÞØ¾ ñ ó Z U ñ _ T )U

W ÔT[

W ç j ç ^ [ ó Z  W ç j ç ^ [ _ T )

W Ô²ÕÊ[

Á²ÌÎÇ²È

Â É¿ÊÏÉ¿Â?ÉãÃ ñ ó Z U ñ  ÚÊñØxäÏÃÏÌYÈrØcÄÇ²ÈrÃ^Øxä]Ã3Ç²ÊÏÛ²ÌYÇhÛÉ¿Ç²ÊõÉ¿È

ÐW ç *c 9[ _ W ç j çK^ [ ó[Z Ç²ÊÏêñØxä]ÃÅÈrÁÆð×]ØxÉÑÁÊñäÏÇ²ÈÎØrÁÈxÇhØxÉ¿È~l\$ à  ç  _ ÕZ

È¾ÞØ¾

 W ç j çK^ [>M=IoW ä j åèç [ ó[Z U W ä j åèç 8[ j T )U w

 W ç j ç ^ [Xj ÕV= å ó Z U W ä j åèç [ _

ë _ çK^ æW å ó Z U å M  = Z  [ í>î å çÃ ÚÊõØxä]ÃÅÈrÃ©Ä=ÁÊÏêtÄÇ²ÈrÃÅØxä]Ã± Ç²Ê]Û²ÌYÇhÛÉ¿Ç²Ê[É¿È 6W ç c*9À[ _ W ä j åèç [ ó Z U W ä j å%ç >[ ;=IW~W ç Ç²ÊÏêñØxä]ÃÅÈrÁÆð×]ØxÉÑÁÊñÈxÇhØxÉ¿ÈiÏ Ã©È  ç  _ Z U å ó W ä j åèç >[  ÕV= Z

W Ô²ÔÊ[ W Ô@Ý[

ó Z U W ä j å%ç [

W Ô²âÊ[

j ç ^ [ ó Z  W ç j ç ^ X[ j T ) [

W Ô²ÙÊ[

 W ç j çK^ [ _

W Ôå[

>í î d >í î W ä j åèç [ çë _ çK^  Z >í î å có b å ó Z >í î å M= Z Ue Ã

W Ô²íÊ[

 W å ó Z U å M= Z  [ í>î å ó Z U W ä j å%ç [ W ÔÊ[ ç _ ç^æ WlÝÊK[ í>î d í>î W ä j åèç [ _ ç ^  Z í>î å ócb å ó Z í>î å M= Z Uf éÎÉÑØxä&Øxä]Ã+ÁÊÏÆÑà&êÏÉhg9ÃÌxÃ©ÊÏÄ=ÃØxäÏÇhØ é É¿ÊØxä]ÃÏÌnÈrØñÄÇ²ÈrÃi= äÏÇ²ÈïØrÁ Ð9ÃêÏÃØrÃÌYÂ?É¿Ê]Ã©êØrÁ\$ÈYÇhØxÉ¿È~\$làÜØxä]Ã Ä=ÁÊÏÈrØrÌYÇ²É¿ÊKØñ ó Z U ñ _ T )U Ç²ÊÏêHÉðÊ^Øxä]ÃÈrÃ©Ä=ÁÊµêHÄÇ²ÈrÃcÉÑØiäÏÇ²ÈiØrÁÅÈxÇhØxÉ¿È~\$làÅØxä]ÃÄ=ÁÊÏÈxØrÌYÇ²É¿ÊKØ ç ó Z  çÃ_ T ) ¾ 8=ÇÖ XÎ,EF@Ï49CD* ÜTA 0IFmC ²C47,E±F +WaX? Â?É¿ÊÏÉ¿ÂÉã Ãlñ ó Z U ï ñ Èx×]ÐOjrÃ©Ä=ØcØrÁÈrÁÂ?ÃÅÄ=ÁÊÏÈrØrÌYÇ²É¿ÊKØxÈ%k ç ` j l _ ¾ ÂÉ¿ÊÏÉ¿Â?Éã Ã ñ ó Z U ñ È¾ÞØ¾mk ç ` j l _  lW ÝÏ[ ÎÛÇ²É¿Ê[ä]ÃÌxÃÓØxä]Ã^ÈxÁÆ¿×]ØxÉÑÁÊñÉ¿ÈÛÉ¿Ë²Ã©ÊõÐXà @ å óZ Uå k ó @ ç @ å óä lW ÝDÕÊ[ _ k 9 l A eA A ²

Q Z _f& j

x x p Whqcr+[ _ : x WU u j v [) x x p Whqcr>[ _ 'sqvjtr' ) _ Whqvjtr+[ ó Whqvjtvw[ _ : x WU  j v [)

ýSØxä]ÃÌÎÄ=ÌnÉÑØrÃÌYÉ¿ÇHÄÇ²ÊñÐ9ÃÅ×ÏÈxÃ©ê7¾;ÚÊõÍµÇhÌxØxÉ¿Ä×ÏÆðÇhÌ é é Ã^ÄÇ²Ê[ÂHÃ©ÊDØxÉ¿ÁÊ Q ñÊÏÁ²ÌYÂHÃ x x >Whqcr>[ _ :x U juv   c . 1S`1Õ

Q

x

x x j WU jtv [ hBWhqcr>[ _ : x U Æ¿Ê U v xH ¹ x

ß]Á²ÌÎÃn]Ç²ÂHÍµÆ¿Ã é \$dÁ²ÌÎØxä]ÃÓÁfË²ÃÌ~ êÏÃØrÃÌYÂ?É¿Ê]Ã©êtÄÇ²ÈrÃ é éaÃ^Â?Çfàñê]ÃµÊ]ÃÓÇ?ÈrÁÆð×]ØxÉÑÁÊñÇ²È ë _ ÇhÌxÛ¤ÂÉ¿Ê !ghBW å%ç c ä [ # çÃ

_

ç

ýSÌ é l\$ Á²ÌcØxä]Ã^×ÏÊµê]ÃÌ~ ê]ÃØrÃÌYÂÉ¿Ê]Ã©êïÄÇ²ÈrÃ é éaÃ^Â?ÇfàïêÏÃµÊ]ÃÓØxä]ÃÅÈrÁÆð×]ØxÉÑÁÊñÇ²È Â?É¿ÊÏÉ¿ÂÉãÃ hBW ç c ç ^ [ÒÈ©¾ÞØ¾ åèçÃ_ ä ÚÊñØxäÏÃÓÛ²Ã©Ê]ÃÌYÇ²Æ3ÄÇ²ÈxÃ é éÃuÂ?Ç©àñê]Ã µÊÏÃÅÇ?ÈrÁÆ¿×]ØxÉ¿ÁÊïÐKà ë _ ÇhÌxÛ5Â?ÉðÊ !} W åèç c ä [OM= ) W ç c ç ^ [ # çÃ

WlÝ²Ý[ WlÝDâÊ[ WlÝDÙÊ[ WlÝKå[ WlÝDíÊ[ WlÝKÊ[ W âDK[ W âT[

ª½

Q S î _  é S ) _  é Ç²ÊÏêS ¾ _ 



Ç²ÊÏêñéaÃ^äÏÇfË²Ã

ª½



W Ù²ÔÊ[

# _& ¾ ØrÁQØxä]Ã

W Ù@Ý[

W Ù²âÊ[ W Ù²ÙÊ[

_ â  åì_æå ó W åå ó [ í>î å _ å  _ & _ Â ó _æå ó W åå ó [ í ) å

©  S óW å  j &[ ©  _ )å  W å ó å [  _aå ó j  _ W å ó å [ í>î å ó

Ç²ÊÏêñéaÃÅÁ²ÐÏØxÇ²ÉðÊ

W Ù²ÕÊ[

_  åì_ W å ó å [ í>î å ó åÂ_?& _ å  _æå W å ó å [ í>î å ó _ Ã ó _ W å ó å [ í>î å ó å W å ó å [ í ó _ W å ó å [ í ó ©â

W Ùå[ W Ù²íÊ[

Q S î _  é S ) _  é Ç²ÊÏêS ¾ _ Ç²ÊÏêñéaÃÅÁ²ÐÏØxÇ²ÉðÊ



© S W ©  _ î âå j & [ å ó >S ¾ 

 = & [ _æå ó  W åðå ó M

j

ª½

Ç²ÊÏêñéaÃÅÁ²ÐÏØxÇ²ÉðÊ

 = & [ í>î éÎÉÑØxä = _ SS ¾  _æå ó W ð å å ó; î

W å#K[

 = & [ í>î å _ â  åì_æå ó W åðå ó M _ +å  _æåðå ó W åðå ó ;= & [ í>î  = & [í )å _ Â ó _æå ó W åå ó M



Q S î _  é S ) _  é Ç²ÊÏêS ¾ _

W ÙÊ[



©  S óW å  j & [O>S ¾  ©  _ )å +

W å ó å M= & [  _æå ó j

Ç²ÊÏêñéaÃ^äÏÇfË²Ã

W åX[

S  _ W å ó å M= & [ í>î å ó éÎÉÑØxä = _ S ) î

_  åì_ W åðå ó M= & [ í>î å ó å ª½ _  å  _æå W å ó å ;= & [ í>î å ó _ Ã ó _ W å ó å M= & [ í>î å ó å W å îcä]Ã\$lÁÆ¿ÆÑÁfé/É¿Ê]ÛØxÇhÐµÆÑÃ©ÈcÈY×ÏÂ?Â?ÇhÌYÉã Ã©ÈØxä]Ã©ÈrÃ^ÄÇ²ÈrÃ©È S î S ) S ¾  ÈxÇhØxÉ¿È~Ï Ã©È      W åèå ó [ _æå ó     W å ó å [  _æå ó      W åèå ó M  = & [ _æå ó     Wå óå ;  = & [  _æå ó      W åèå ó [>æoW å ó å [  w ó _ Õ å ó      W åèå ó [>æoW å ó å [  wó   _ Õ å ó 

W åhÕÊ[



S î S) S¾      æ _ å ó W åðå ó [ í>î     _ W å ó å [ í>î å ó     _æå ó W åðå ó M= & [ í>î     _ W å ó å M= & [ í>î å ó     _æå ó W åðå ó [ í>î     _æå ó W åðå ó M= & [ í>î Æ8=ÇÏ Òï4+AKÓÛÅCf:{û B , *[email protected]ÏC²

ª¾_æå

>= & [ >í î _æå ó W åèå ó [ í>î _ W å ó å [ í>î å ó _æå ó W åèå ó M= & [ í>î _ W å ó å ;= & [ í>î å ó _æå ó W åèå ó [ í>î  = & [ í>î _æå ó W åèå ó M

«_? å

& å ó W åðå ó [ í>î å å W å ó å [ í>î å ó & åðå ó W åðå ó M= & [ í>î å ó W åðå ó ;= & [ í>î å å W å ó å M= & [ í>î å ó W å ó å M= & [ í>î å ó å & å ó W åðå ó [ í>î å ó ó  = & [ í>î å åðå W ðå å M= & [ í>î å ó W åðå ó ; ©Ù

½

_ Ã ó ? óå W åðå ó [ í ) å ó W å ó å [ í>î å ó W åðå ó M= & [ í Wå óå >  = & [ í>î å óå W åðå ó [ í ) å  = & [í å ó W åðå ó M

ó å W å ó å M=

Ä

Ë=  Ëd=  Ë=ÇÆ Ë=Ë Ë=ÇÍ Ë=ÇÏ

Ù 2Y£ÛÚÜ9 62Y S¡ ÝeÅ 91*7%Æ13ÇÆÅCDhC , 4>F TA 4>C#@ / ¤F ,-60;8¤49*S4>¤F 8 TA 0JFTA 4bHI

@ 8,EmC ²CD,PN\;Å , 0IFÀC .«¤Å * ²,-6&0i8¤47*/8,EmC ²CD,PN\;Å , 0IFÀC

få