MATHEMATIQUES 1

(E0). (E) : X/(t) = AX(t) + B(t). (E0) : X/(t) = AX(t). A. Mn(K). I = R. V. Mn,1(K) λ. K. X(t) = eλtV. (E0). V. A λ n = 4 A =..... 0 −1 1 −1. 0 2 0 0. 0 1 1 0. 1 −1 1 0.
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SESSION 2012

PSIM102

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI ____________________

MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures ____________________ N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

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R

C n

C Mn (K)

K

Mn,1 (K)

A

I I

R A:I →F

A (t) = "

i A−1

j K t

A(t) A "

"

K

ai,j Mn (K)

A F

K ′

n

K n

K A = (ai,j ) I

R

A(t) = ai,j (t) 



I t

I

a′i,j (t)

M (t) M N (t) = M (t)N (t) + M (t)N ′ (t) ′

N (t)



I

R n

A I

n

I A

B

B

K (E) : X ′ (t) = A(t)X(t) + B(t) I

n

X(t)

K (E0 ) : X ′ (t) = A(t)X(t) (E) (E0 ) (E0 ) K (E)

S0

S0 n S0

(E) (E)

t0 I

I

V

Mn,1 (K)

X

X(t0 ) = V

I (E0 )

"

W (t) = X1 (t), . . . , Xn (t) W (t)



n

(X1 , . . . , Xn ) Xj (t)

S0 (E0 )

(E) (E0 )

(E) : X ′ (t) = AX(t) + B(t)

(E0 ) : X ′ (t) = AX(t) Mn (K)

A I=R Mn,1 (K) (E0 )

V X(t) = eλt V

λ

K V

A

λ



 0 −1 1 −1 0 2 0 0    n=4 A=  0 1 1 0  1 −1 1 0

 tet  et    B(t) =    0  −tet 

K=C

(E0 ) A

(E0 )

I=R K=R   x1 (t) x (t)  2  X(t) =   x3 (t)

(E) : X ′ (t) = AX(t) + B(t)

x4 (t)

xk (t) x2 (t)

x3 (t)

(E) x1 (t)

I =R x4 (t)

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 −1 −1   X(0) =   −1 

(E)

X

0

(E) : X ′ (t) = A(t)X(t) + B(t) R t∈I K=R C

I S0 (E0 ) t0 ∈ I

n Φt 0

S0

Mn,1 (K)

∀X ∈ S0 , Φt0 (X) = X(t0 ) . Φt 0 Mn,1 (K) X1 , . . . , X n t0 X(t0 ) = V

S0

(E0 ) t

V ∈ Mn,1 (K) X ∈ S0  −1 Φt ◦ Φt0 (V ) = X(t)

I

(E0 )

(X1 , . . . , Xn )

S0

Mn,1 (K)

(C1 , . . . , Cn )

Φt 0

t0 ∈ I S0

Mn,1 (K)  W (t0 ) = X1 (t0 ), . . . , Xn (t0 ) .

t0

t

−1 R(t, t0 ) = W (t) W (t0 ) (X1 , . . . , Xn )

I

R(t, t0 )

R(t, t0 )

t, t0 , t1

t2

(E0 )

I R′ (t, t0 )

R′ (t, t0 ) = A(t)R(t, t0 ) X(t) = R(t, t0 )V (E0 ) R(t2 , t1 )R(t1 , t0 ) = R(t2 , t0 )

R(t, t0 )

t

V ∈ Mn,1 (K) X(t0 ) = V R(t, t0 )

−1

= R(t0 , t)

(E) t

t0

(E)

I X(t) = R(t, t0 )V (t) ,

V : I → Mn,1 (K) X(t) = R(t, t0 )V (t)

(E)

R(t, t0 )V ′ (t) = B(t) . V (t) =

Z

t

(E)

R(t0 , u)B(u) u

V (t)

t0

R(t0 , u)B(u) Z t R(t, u)B(u) u Y (t) =

(E)

t0

K=R

(e0 ) : t(t − 1)y ′′ + 3y ′ − 6y = 0 , y = y(t)

I y(t) = am tm + · · · + a0

(e0 ) am 6= 0 (e0 )

(e0 )

P

R Q(t) =

1 (1 − t)2

(e0 )

P (0) = 1 ] − 1; 1[

(e0 )

y(t) =

+∞ X

ak t k

k=0

|t| < R

R>0 k

ak+1

k

ak

R

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k0 ak 0

ak ak 0

k ≥ k0 ak P

Q

(E) : y ′′ + a(t)y ′ + b(t)y = ϕ(t) , a, b, ϕ

I z

z(t) = y ′ (t)

A(t)

X(t) =

 f (t), g(t) (E0 ) : y ′′ + a(t)y ′ + b(t)y = 0 ! ! f (t) g(t) f ′ (t) g ′ (t) (E0 ) : X ′ (t) = A(t)X(t) ! f (t) g(t) W (t) = f ′ (t) g ′ (t) I f ′ (t) f0′

! (E)

B(t) (E) : X ′ (t) = A(t)X(t) + B(t)

"

t t0 g(t0 ) f ′

y(t) z(t)

I

f (t) f0 f (t0 ) g g(t) g0 f ′ (t0 ) g ′ g ′ (t) g0′ g ′ (t0 ) " −1 W (t0 ) f0 , g0 , f0′ , g0′ R(t, t0 ) f, f0 , g, g0 , f ′ , f0′ , g ′ , g0′ f

(e) : t(t − 1)y ′′ + 3y ′ − 6y = 20t4 I =]0; 1[ (e)

(E)

A(t) B(t) (E) : X ′ (t) = A(t)X(t) + B(t)

Q W (u)

t Q(t)P (u) − P (t)Q(u)

f (t) = P (t) u ]0; 1[

(e)

g(t) = Q(t)

P

t

t0

]0; 1[

1 y(t) = (1 − t)2

Z

t

(4t5 − 5t4 − 4u5 + 5u4 ) u t0

(e) t0 = 0 (e)

[0; 1[

(e) y(0) = y ′ (0) = 0 ?

[0; 1[

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