Notes on Euclidean Geometry Kiran Kedlaya based on notes for

Aug 3, 1999 - that many of the problems presented have solutions other than those ... very little advanced knowledge. ..... (Many special cases of this question occur in the problem literD ..... The basic transformations can be eCpressed in terms of compleC ...... 9ere are a few additional problems concerning triangle trivia.
501KB taille 4 téléchargements 307 vues
     

                      !  " # $$$

%    &    '    (            )                    *                            +,-./0/12/34 5263 5,-7 ' 8 9



      &                                      # "                                         & 8 ! 8 *                                              

       ! !                          #         !                                                       "                                       # #  &  $                                       # '                                      ## &                                        # ")                                   %   *     *                                   # '&    + ,-                                 . &     "                                     "                                    / . *  0                                       ..# )    +                                                           

 #  "   # %  ( $   . ( " " #

... )                                                                      ..( -                                                                                                                                                        #                                     ((0)!'  0 * $  !                                   (# )!                                      "  ' 0   !$                                   ""# "  !                                        !                             "". '                                      ""( '  ,  +   !                       $ $                                         $ "                                    $# '        !+                      $ '  ,                               $. "                                   

    

$     " '                                      "                                         "#  +                                   "                                       

















































  ## # #" #$ % # % (" .. ..# /."  . (( ((# # # ## #













'  8                                       &        )         ) "      !  !    ' !                &"        &"   )  "      !                 ' !                      *                               !     ! !    !  *                    8  '      8                 &    &   *  *    "   )            !                !                  "           !      ' 8    8             *  & *                      8           *  )   !    *           *    *  8     (  "       *       *              "      *         *            !        *                     " #          )  !               8*    &" )                       *   $ %8      8                  &" '   &            $ ( $  & '   ) * +  + *     &   '   *   *   !         '   8                8  *   !        8      ,   !                  !        *         *      !    *    !   *     !         8*          ! *              )      * )      !  '  "  -!    "          ' 8           $$ $$  $$$   ,       ! 

+ '  +, ,



+

" "(

!

&

'

-

!

,

' ( "



   8

!

    

  

   *      '              !      * *       ! *  

!   !  8*   

  

       *               (                  !   '               )        

+  $  *            - 9 )" &"                                )" &"                !       *      )" &"              +          )" &"  !$   "      $$( # $     *     %&'&(&)       &*      $   + %(  ')*      +, & +- & +.          &  &   #  !  &*       *     +, &  +- &  +.    #*          







    *   "  * 















 *

&  &    8    & &   !                &*            &   &      *(           ) +                !      # )     

 



 



  !     

.   8&      "    '    "       +    *                                     ' * +     *  (    *     ! $     *       8   +            !         *  "                !           *   !  



  

 &

"              !    88     *  *                  8   ,        &     '        )" "

+  $     

& &

  $&  &$&& $

#  *  *   # * " * *      *      "      * " *

 

  #              $    -         $     $ &        &         "  

)              '

 $      &                  $  * !     *            '            $    







"           !      (       ! !       *      *              8 *  !       *              )     !   8 *                  !  !  )" "   *   (      !                         *     

++

&$&



(   $





) *       

+



  #   &    &$& & & #    $   $$       $       $  $  &             !$   "   



&

,

                 "

     *          )" " *  ) &) 9            !    *          !      *             !  *        

























$-



,







                         &" $$ # " !                    !        # ) $$                                 '                     !  ) (      

         +

+ + &   &

 *  *      

& &+ *    





!

#



# +* 





        * *    !          !   *   !                  8

    #

 *         !        ! !  )     *        !    !     !  (                                !      8      *   (        !           !  

 !  *            !      ! *                 !     

        *             (                 *                             !             * !   

  8*      8     !  '  !         *                  *                   8                        

                      8      *  !           * 8  '    *    *                         '          

  (     *                                , *            *         * !    *  &         '  *  

    (  

+ 

*



 *  

     







,



+

&  &   *

&  & 

+





& 

 



       * *               * *   &  &   *  * "     *

*   &  &    *       * *  &  & &   *      * *    * *    "*   &  &         )*    *       &  &   *    *                         *   *    *    *   



 



















,

 

+

  #

















    &  &  &            *  !     +              !            

  





          

)                 *  *8        9 '                  *   8      '  *       *   !             * *8       '                '                  

       *       *               *  ! '     * *  !         *         * (  

                   !      !       )        *       !        *           *         *  '     * * !8           '   )" "

+

      % ' 



 !  $  %





+ (

 

(

+

(

+

&

    ,

    *

+



     

         

         *            & &                   & &            '       8      *         

*   



# *    * #  *   *      *   *   *  #    * *   *   *  *  "  

 *   "          *  * *   







!  $ /

+

+

                  *        '     !   (       *           *          #



  





  

#  *   ""    *   *   " " *   *        !  * * *  "   " *      " *     *  *   *   *    *   " *       ) )+

  

.



  +, & +- & +.           &  &   !    #   &    &  &         +-                   & +-       *  )" &" +- &      &   







 



-    





  & +,    &  & 

    !





+- +,    +- +. +,

+,+- +.

                       

       

+, & +- & +. &  !$   "   #  #            ( *    * !   &  &              &  &    !  &    (             &*                ('*                "        

             '     (            +  '     +            +        !              # #  &  &  &            &         $        $        $         $  &*    &  &            $ & $ & $  $          '    8     ' (    

























"     *    !    !               *          8*    *  

    *                *       )" "





+

&

&  & $   

 *        *  " *   * 

  &  * *   *             &  &    ,          &  &  * (           *     '                             !$   "   %  ) $$  #         *      &    +                +          

# $              ,    $                  !   $            $  $             *       *!   #          '    *                   !       

""   *    *  









        

(

  



'     !      *        *    !          *    !          '   *        *                                      *                 *  *                   '  !       *       ! & ( ' * *            !   





+



,

,-

      

!  (*, (#   )          ("   )    ! 

!+                  )" &"  $    0     &$&   & &  &  $&   $      $   "  



 *   *  * 



#  *  *   # " * *  *    *  *  * *   *     * 

         &  $&        '       *                                                      *                   *        

  



-

        * 













 $            $        

"













&



 )" " 

      * *     8  *8   8*   '  !  $                  *  *   -    &  $&     '*!   !      *  *  !  * (  

 $     $           *           &                 !    &    *  *             

 !      * 0& & &

)     !  '           *      

" * *   



   &$&   $        $            $     

#  *  *   # * " * *    "    *   *  *  * * 

+  * -  

 ! 

,

          !    !    *  !             *   '  ! *         

            (                                          



 !$   "   







 & $&      !      $       $        &  &        &  &   !      #   !   &   &      &*    + &  &      &  &   !     + &   &          &   &                   , +    &  ! 



 

$

'+ , (  &   &  & # & & 

     & &  #  & && & # ++ &  &  & & & & +    . .  & &  & &  &          &  &   &      &&         & & ( # &  & & & & & ,     &

#    )  $$  '                           !                     *       -!           !              !  &*                     &" $$ # !        

       *                !                      !   (           !                        !       !         "                        !        &*                 

                                '    8       















 

















     

           ! (! !  

       "      "  '

  !   )" &"  &$& & $& &#       &$& 







 "  

  *

#  *  *     *   * * 

 $     $ 

   

   



# " * *  * 

 "   &$&     # &  &        &  &   !     $  )" &" ' *  *      $         $    





 !

' !  *        !  ' "           *       *             *       '*          " "      " *             '     " "      *        

!

 

   & &  &  & 

 $ %   *           !         !      ,  !      !    +      !              * *          

*   * *     " "      * 



 &  & &$&

 " "      " * 

*



 

       &     ' *       * *   *  





$  





  $     $  !8   !  '     (  *         & &             !          "       $        $   











 *       +         *          !  "        !     *         $ /     & &         & &   







 *  " *



   *  " *

#   *  " * *      * 



!

'           *     !                          )      8      *8              ! !     *             '   8  &    !  '  * *   *   !               

 &  &

 ! !  !$   "     !  !        !   # '& &  *         8      &  *                     &  &    *             &  &  &         !  





& &      &  &  #     # ##  &  &                    & .  &    &   &  

               #  $$        )               !                               *  *        *   !         *  *  *   !  !             &      





































 

+

&              *                           *         )  !         !  '      

        *       !           )" "  

&      &$&

  *    



 !

  &  &$&&  & # "   " *  * * " **   * * *     $  $      

#  *  *   " " *  





   $

&$& &  & 

"                !                 !    9

$



 !$   "   #

     +  # 

       &  && &    

            !         !         ' !                 $$           !                     #             !  !           !     '         "          

#&  &











& +&

& & 



& +& 



    

 !$   "   %   &" $$(  #        *       &   &   +   *   &  &      !   !       &  &       &  &   !     &!           $$& ( #& !   '   & &    *     $ 



 & &$ && & &  & &

           !           # &    *  '               !                     *    !        !           '        !            *  

&

& &

#



&  & 

&

#





  

,

+

)                                 !       )       "'& *      ( &'        !               9

  "    *           *  !           $  $  *  ! $  $  '        *   ! (+    (+      $$   '  *           

       *                       *                 9                           

          *       

&  &  





 $ #















             





 *   *  *     *   **  *  * * * # "" 

*    #  *     *          *  *      *   * *     *  ""    *  *    *     *

   

'          &('             (                 !       (                 





   (      )  * *         ( (        *   !    *    !      !     (     -   *!   (          &  &                         !    (+          '         +   * *  +     &  &           ( (   &  &          (' +           *    *           *            * *                    *   ! *    &                                      (+     *       *        ( (             &  &                 ( '       +     (   (               )                                8          *             *                *         *                                         '    *                8     

)" &" )     *  !       8                  8               +             '   *             *             )                              8      8          ,    )     *          !      8      "   (            *    























)          *               )         

  #  



 * 



   

      *   

  "  *     *  *       *  *     *    "    *  * *   



,

      ! *       !  *                               )                ! 

.



 !$   "   #



(  "     & & &  # 





'



     &&



 !                         *                          '    &   '                   !     *         & *          $$         !  '   

   !                        !       ( # ) $  "                         

         *          8*               !                         $$     !     *                        (  







       +  +          &  &  

++

& & &       &  &  













 











!    (      * ! *          *  !         '         "                  *             *  !       

!           *                                 !        !    !  )" "    !        !    (       "       *            *   &  ( '            *          

$* $

$)

'



 $ ##  



           



 & 





   #  *   *  *       " **   "         * "    *    *    " ** " *  "       * " *



"     *           *             !  *    9







 !$   "   #  !      *           *   !+    !+    *   !       &"  $$        '&&  & &&             &  &  &  !         #   $$ ", #        *         * 

   #  *        +  *   +              +              !         *      +           &*           













 

 



"           8  (  (       )  *   !                              *    ""       *   !  !  !         " "                          *            '               *                                          *      ,   "                 9 '       * * 8     



+

+

 $ #%  *  *    

+

+     *    $ $  $  $ $$

         * *   "  





 

 !                           *   *      ) *                         *                                   

          *                         *     )  *             *   *   '                     *

&$&$

 #    &$&$

+

(



+

   % '

'&

   '     !                          '                                 !    )                                          *           )      *  !         *              '       *       *                             *          " "

! % '

%   % '

 '* % % 

+



%&' '



+ , +  !$   "   ##   &" $("                    *         !             







,





  *     !                     "   !                    *    !     $$       *    *      *                             #                                  (         * 





"#



     +       #  &  &       & &    #           *  

          *  

          *  

        *  

        *  

         *    !     



























"







  



   

'

'        *                 !       *!         !  

!     !     *  *       "           (       *      *   8  "  * *  *           *         

)

  &   %  '  (&)          %&'&(&)& &   -      ! !   +  !       )      &  +  )         &    &(       &      &     #/ )*  * * *  " * * # ""   *    * * *  " * #  *   * *  * "  +        )     * ,   *   #   * ! " * * *       $ #                  ""        *    & & )& ) &      *  *  &  &  &  &      * *  + 

  !      ), !    *          * * *   #    &  &        *          *. *         &  &   !        ( !              !                      -   ,                         )        *                              + * *   *                         !  &             * 8*              &         !                        ' *   !  *        *   !                                     *                  & *    !                                )" &" 













































$





)                  &  *    *  !     !         *             *            !  * 8*  

   *               *           ) * !  *                *  ! *               *  !                                        *                     *        )" "         

& &







   



     '   ) &  & & & &   !$   "   #%  #  &   &     !                    &      *   !                    ,       !           * *    # *             $$ #           *    !        ,    *   &  &      ! !         

























    



 ! 







   )     *                     '          &   '         !  *               *       *       

    

 $ %

'  *                  *

             *  

   *                       '                               !  *   *     !         '          "    *         )             *         +  *           

 *   !   *   !  " *   *   *  *

 *  "    " * * * *   *  * *

















       !   8  *   !              !          "                                ' *             ! 



, ,,







 %&&  &     !$   "   %   *  *   *



 *





   *

   



 

  *   * 



    !   *  *    +     + *   &$$&$ #   

                      &  &   !  !          $ #  *           !     '    *                 *       !              $$ . !& &  &   &         "           &$& &  !  !              $   .  )  *$$ .  #& &  &                  '     '        #             '        *       +          *         !     + &  &       &"  $$ "  #   *      *  #                      "               *                   +      *       +*+       

! *     *        *        *        *    * *     *    -  +   *&&  &

 )

   













































 

        ! 

$ % #  

    $   &  &  #     *      *     *   *   *      *     * *    "    

  "    *     +     * *         '    *                      !      

     #           

*       !   *    

 

























+



+

+

  *             *    *     !               * 

    %%    )    +             *   ,        +           "    (                '    

   

  

  +       *      !    *   *      +              *  )" &" "              +     *     !      !        %/    #

8  *,, ,      +           !   &  &    %          !$   "   %      +     !           +$$   . #  &                 #           &*  

     +  # ) $$   "         *        "               +     "                +     # $           +!   $  $  $   #    *        *  *    *  *  *

* 

  * 

'

&



 ! 







      !     *    *  *       "       * " * *   *   *      !  

""     *  *  *

*      *  *    





















     "              )  $$.#  !  #                     *      !  &*         +            .  ) $". . "    *       !                         !  '                 +   *       +  !     +        





 















  

+  ,  ' # ! + +    $ %             #    &$   &      *         +                 !  -     '  *  !  

"              *         #        *  *   !                *             !   "                 $$#    *  











*

#   !  * *#  *    *  * *  *   * 

*





 & &







*            !      *        )  *       *    

    *       &           !                    *  !         *                  &     *            

$

-

+   $ %   &  &  

 *  * 





( , ". ! 

  







! ". ! 

 

 #   !  *  #  #       *  *



! - !!

)                       *    !       )      * ! *  !      !                  )      *     8   !  ! 9 '          * )" " *             *             

+



&





  & 

& + 

+ - ! &  !$   "   %#     *   *   -  !  *     !   *                 *      &  &  &   # + & & &$  !  !     &  & + & $   #  $$.            $               !  !   +  &            $$*( ##   !+    *                      *    *  &*  

"          *    &! ' * *               )" " 











          

  



  $ %  & & &  & 

!

'  *       &      

   



     * 





       



#  " * *    *      " " *    *   * *     *  

 '         ,   #  &  &        !      & &

         &   &            ! *          '                        & &             *  &  &                *    !                  *        &  &  &                      * *  *                           

         !       !$   "   %% 







.

# &  & & &$ $  $  # && &      &  & & &$ $ $       # & & & &   &  &  +& & , +             &*         *             &     *                   !        &    *   &    *      *               (!            *    # ) &     *   

      *             

                      !  '               !  &*    &            *               

'  $ %   &  * 

'    "   "'&           *8       *!                   # *  " * *     "    * #   *  



 

                     %& '&          '   *   

 !      *         *     %       '         !       *     '%    '% & *                  *     , +   '           )"  *        &        '                *  &  '            !$   "   %/     " *           *    * 

    *          ! !    































      "     !        (         ' #                              *  *         *   !         *  *  *   !  !     *      *  

      '   *          8     *8       !       &            *    



#   #  &  &   &  &                 &   &   













"(













 



++

   



 !$   "   %  "   ! 8,                                            !          ' !+ +        



&

'



             !        

!

 



# &  &  &    

    +              

#               !  





 



(





   '                     *    *       



'  *      *  !   !     "      '  *      

            



      /    **)  ) +*   * * +     " *   * * ) 







,

      *     !               8         '                    !           *        !        8  (               &  " 



+ 



   )                                                   *         





          *       *                         '      * * 

"





          *      '                                     *#    *                   

   

      '          *                  (            )          *          *         !        ! *                   #    !    )                       *              !      '          *    *  !           8 !        )     8 !   *            *       !             !         





+



+

+

& & 



+

    

+

+

  & &          



'      (      *                *  *      " *    *

  

   /



 %  '( *                %  *  * 

" *  !  ""      ' ) )+ '          "            

 

   











) *      8*  *         !         ' *       !            

     / #  * !      $ 



* 



 *  * *   * 





  

    *  #   

     

 * 



"          

  /% 

   +     +      +      *    + "*     *   "     * *    * ! * , ""    + + + + , 

#  *  *#  *     *   *   #    *  *   *   * * *  #          *           " " *      " *  





$

             *  !$   "   /



 

 *  





          !     '   "  ' *       * *        ,           &*      !      #  &" $$               !             *          

            "     *  *                  !         )  $$                         !               (               *    &" $$$    '                                                    !               ) $$  )                             *    *      *                         



 . 

.#





+



( #  +  #

  





$& $







 

+

 

# # 

 



$

+





 & + +

   '          *                  '  !             *             !                 )                    *     "     !                         &  &      8*       "            *  (           









             *                  *             #

 $ // 

& &

      

  '  *       *              *             !          *      

                ' 

&&

#  *  *      *   *  *   *     "    *    *  * *    *   '         *      

                   *  &      *    *       *  *  !           )" "

+   / 

+,

,& - & .   - .& 



&



&  & 

 

#             "   *    #    *   *    *   *  

 *     ""     

    #   *     *  

  * * 

  , . & , -      ,-.      *    & &   *     '                  *   !$   "   /#  #       "                          !   !    &  &   *      !          &" $$ .  " ,         !      '    *         +     +        *           +    $  !      + &  & &$        # #            !         &  &         *                   -     $$( #      *     +          !                    +  













#

. # & &     *    ( && *    +,& +-& +.  ,&  &- .



&  &  & &

   

        

                    &*      

         

                         ** " *    # &*                    

  





!

,



+,+- +.

,



  

'                8  *            *8

 !$   "   /%

+





    *      !    !       !                 ** " * "  *    !       !     *          !                 " *  )                !    '   &*                            *   8   #           !  &*                    '     9



 &&





&&

+



+   

+



& &  # $&$&    '*    $             *  *        $    )  *  $                    !$   "   //  !   !                      * *       



   



#



 !              # '           

  *                        #*      *    &*     +       "  !  

   #        &*              * !           !+    !      "   9 .   &              !    #  #  &  

     * " *



 *



 

+  !$   "   /

+

-

'                !         

  +               





 &*        

 & *        !  +      )              *    (       * 

  " *





 !   !    #                &*      *         &*           #  !             *  !                   *    )          #                       ) $$  !                     # 

#

 . 

      

+ -

+

. &

 %  '  (



%&'&(&  &  ##

+

 



'   **       *            !   -          /        ,  %  &'  &(      %'       %'(

     ,   %       



#  *     *   !    ""   "     *   





 *

* 

  * 

# !  *    * 





   %  '  (   *  



 !$   "   / #  

       

&











      &       '   (  %     



 !   



)" "   &*     !  &       *  *           "             (  #       $$  )           *        

   *    !   !      

    "  *    

    '            '               !  

 !                                                                  $$    !            *          !      





!

,#

(

   + +   +    +    &  &  &    . -&  ( # # +& +    



#

 #           ,-.  ,  ,-  ,. *          !          (   $$   #+   &  &          ,     !    !



 







      +     





         +     







#

.









  





! +  !$   "   

+ 

'                        

       !      *                * ,     *     

+



 !                      8*    * * "    !           *        !        

 # 



+



,-.    

+

#  !      !                   

   



'        !            !    *  

   *  * !           *         

 $    $





 #   * !     *         





#

  8             *    !    *   *  &                )" &"      * *  !                '                *   *  ,            









    *  '             *   & *    8   ' ) *              &     )#      !     '                   "                     )          "'&

'

!

+

 %&'&(&)     $*       %  '  (  )&    %  '  (  )* '  !          *  -   !               *        -   !       *                        )  !    !                     *       !$   "     -    #        *        '                   

            -     !  

                      *          



        







  







*     *



   "   















     &     '

#

(

!

#        !      !                                !                           !       

     

  

 #  .



   

&  &  &    



+ & +    $ #             *         * #     8           '                              *   +         +   # $     !          *                '    $     $ *      !     !          

$                                              *     !+       !                             +  )" &"        *                                 %                      8  &   # * *      -  !   !$   "   # #" '  *              *      !            !         *  *   8*               )" "  * *#    * * 

)  * !   





























* 

)  * !



 





 * #   ""  









 *

 .

&  &  

 ) $           !                                                                   8      &*           *           )       *       8   &  # #  &" $$                    *                !               *      !       



# 

!

"

" # + .    

+,



 



    + 

   "  "       (      *                     +  *     

+





  '  (      *     *        

                    )   *          )" " 

&  & + &  &  !$   "   %  &*       *    &   &     +        ,       &   &           *      &*                    





             #    ! (!       *         ' !          *   *  *   !      !  (!         '      !       (          ,     "    # 

 + "(( ",.

+

#$

 

  

"

          ! !        $ 

    !          # ' *  !  

     !                      ! 



#

)

 

        !    ' *  * *   #       

        !                       &          !                        













            !           !       *     8  !           (   )" "                !   *   ,               '     * (  *  " *      *          " *  * *   *               (     !      !             !      "    *         ! !                                           &     *                   *    !         '     (           ! !       *    )   !    &   *                      9 )" "        * *          !



&









&



+ &





,



   (  8       !  

   $ $  $   $   )     *  !    $   $        +    $       # &  & &         &  &  &      ( 

!     *                  







* 



   *   * *  *  *  ""    

   



 





     

  

     &  &  &



*



 *  *  





*    *  * *  *  

*  



                           















   







&

    *  )" "    *      8       !   )   

!       ! !  *      ,            *        *8 *   &             )!      &!    * '  &           * *  !  (    * *      8       

! *             *          (                       )     *      *     *              *  *       * (     *       

             !                             

             

+



  # 



*  *





,

 







    *  #  *       * *   *      * 

!

(

       *   !              





  %  0 0$ $   $ 





 **





*





 *



$  $ 

$

 !$   "       ' (    ##    !   (  *     +   !     (' (    !   *,, ,   # '   * *            !   !   !          !  !    ) $$  #             





   *   * *  *   











          # &           &    !  !    & 

.

& 

,

               ! *         )9   !          ) $$    #  

. "

# 

!  

++

                

  

 !     *     !   '       !        # '      **              "  

     )                  (+   *    *   !                

( &*         + 

  +       *  

         !  "    *       +                !  " !    *          !      





  



  

,

&  *      !     !    !   8     

!  )     *  8  8 8              *             ' (          8*   #    & 8  8 '  8  *   !   "    ) *    !      &" )   &    *  !                 



! ,

 $ /    

             )   

      

  #           *  # 

* * * * *    *    !  * * *         #    *     * *   *        "         *   * *   *   * *    *     #    

 *      *      *    





   & & ) 

& & +

)" " 

   !  *         !       (   '                          *   *                          

 *  ' 

  !   '  *    8*   *   " 

  &





) 









 

 $             

     -   ("     !   8  !          *  !         '    *  !    !$   "    #   ""   * **  *     " "   * *       *   #  *    * *   * !   *     ) )+  * * *   *  *  * *  #   *   







!



 &          *                        &*                 $$               !      (         *       *               *    !      !                     

&

 &



(#





  



& &  







 



+

)

&    *  !  *        '         *  !  !     * !        !        '    *  *   !   !   

!         !  *   *      

              !         '            !           "                *  *           *         * !    ( &   '  *              !  

, (.

-

(

'  !$   "   # 



  8   !     !        *       8* !       *     '  8        *              !  !    

   *    9                 #  !    *   !                             #    $$     *            &                        *     $$  !     *    

                                 !           

!

 & & &    +    &  &  &     & ( #    & & & &     & .   + +   +  +  +  # +



















.  &"  $$# !#   ! +    *            &  &  &           ( , ! !   *   !   !        *          "     " *      *        ( ) !  $$       '        &  &   &  &  ,                  









  . # $$  #  "  $    $  ! +      & *              &  ' "  ) $$#  #  &  &  &         *   &                       *            *     !                   )  $$. # + &  &               *     &  &   !  !      +                 '        !              !      $$( #           '                        !  #            &*               !              *              !  !            )  $$                                     

            !       $      )

 !     























.

   

&

  !         *   *         *    !  *  '   *        (   * !     &    ! '             '      !   8               8                '     *          &   '              !     !                                    & !  '    '                       !     !         *        *  8         ! 

+



+

,





,

    

    * *                  !    '     +      (  8          8          '               *                                  (                

"  " * " *  * *

    (    *  * *          *    !     (  *    !   (      &'  "          !                         *                  (             '                        

,

! +

,







              )          (  )  *  *        !   *             (     '                   !     *   8*    *  

*          !       ( *         *                          9      &   '  '            

     *        * (    !      !  *                        ) *                     *                      

(                 

'

 

+

&&





'

,



&

   







  

  



&

-



,





!

+

,,

'    (      !                   & * '       !   "  (          *   *         '       8       (          *      *  (    !         *      8  !  *    !        !          !                    )         !      8   





,

)  

  

%& &

%  '  ( )           & 

+



*  !         !   #  #                         !  *     *    &  *  ! *        8 8         

    *       #     









.

 

 

)*   " * *   *  * # ""   *       " * #  * "  *  *



,

, ,

'       !         !                 (  " *  !      8  &'       )      !  *  !     !                 (    ' &*  ! '      

(

,,

)    $        

     *            8  *              !              8          *      !     '  

)

 



!

    

  "    !                 (      !    *  !     

   )             &   &              (          !      &   &                  ) !                            &                             &  & 

*       " * ""   *     *   *  *      *  *

   !   

*                 !      * *          )         !$   "        !       !        !        #   !       & *          )" &"          '

&























+

+,

"  *   *      (                    ! *      (      #     '  

    "  "#   " #     *    *                       )" "

 $ #

+



    

*



&

)* "        " *      *     !  " *   **   " #        " *   #     *  *     !  " *   **







 '  (* $ ( 8*  "       *   !       

       



," 

 *                  

"

& +

)                          !                     )" "           *  *             *                                        !                '    *  ' *        !              '                     !                 *  & '          )      *          !               )             !     (                                       !   (                      !           *            !      *   *       *                                  "        (  *        *       ' "              *     ( 

,







 





   

+

'

+

' *%%  *''(   , *% *'  '  !$   "   #  !                    ! *           8         *    )" &" 



#    " (                   *  *         !               *        !              !                   !      !                !      !        * *                        

# .

$ $+

+

+

$

$  +

+

          !      !  +                  

(







   



         

                    *   *       *  8      *                   (        (      !                *        

&

      

&&

+

 



)     *           ! *    !  '   *      (       

  %











 )      *   *  * *         *    # "  *  *

-

)                                 *               !                         (            8                !                     (                !  

+

!

-

 ,    /      !$   "   %  !   +  *                  *            # +                   " *              +  #  ,-   #  &  &             *      !        ,          '        *           (  .

)  *  * "       * *     *     *  * *  )  *  " #   * *    * *   *  * * )  *   " #   * *   *    *  * * *  * " *















     $$ #  &  &  &  &  &   +                    &    &        &*      !   +       . "    #  & &             *    &  &  *  

     !  &*             +   *   *       *   )  *                '              + *

 









 

 







          *    ' "  " *          



+

   *   



 )  (        "           *   !      )  (         "     !              # )     (                  !  !   )          (   !  !  '       8*   "  *  8     !         *           *     *    )" "   















&    

   

 "  "       * " "      " *   "    "  *   *   "    " 

 "    *    " * *   *   *   "   







 * %  '   " *   *   * *    "     * * " !      +                 

" * **    *  *)     "       *       









.

 +            !           *  ! -  !             !        ' !        ! +                 *      '    +                         8                 !    !$   "   /   8        *       8*          -*          *      ! *          *   &       !     !     "      # &   !  !     ## &              *  !    *  *  9     $$ *#           $  '!       &$&          *     +           . #         #  &  &                    * &*    &  &              &*         *    # &  & &                 !         . ) $".  ( !8 *) *                 *   * ! *  !               *   

        !  )" &" &*            (        '*!              " # !      8       &*    +         ,   !  !          " . 

















*  "

  







  8                    '     8*   "  "   "         *   ( (         $ ) $$                           !  '                 !  !         

". #

+







 # +

 +

 

 

                    &  '        !     !       !    !         *        ! '       !     &         '  !          (  

!        *          

)

&  & &



    

+

)          (   (                    * (        !   (   *      

(        )     *        8   (           *          

 (           *              (        *    '  

     *  !   *   *  !       *  &  

+

,%&'&(&) , # ,

%&'&(&)

&  & &

    %&'&(&)



,

  &  &  &  %&'&(&)     "    *      %&(   '&)      '&(   %&) *  * *  "  "   )          * * * *   "     *  *    *     ,    !  !  )      *                        $               $ $                 





#    *  * *  *   *  *





,

,

    !                   *           

.#

  & & &  & & &       !$   "     '*   ,    (     (   #& &&& &          &*           ,   &     



 * 



     " *  *   " *  **    *

      





# + + #    & & +   + $    %   '$

   + + +& & #

#                                !                 "                                   !          (         ) !     



 

$

     







  





    

+



'     *  ! *8 *       8       !               '      (                             "  ! "  " *   (        *                      !              !      *            

   



+

 +







) * * *   *     * *   "      " *    *    ' *         " *  * *        " *

+



 

   '          *      (   *   *            8           #      !   *             '      '  "  ( !    '          *  !   * 

+ ) .

+ + +

         )         *  * *  !   $#       



 

*   "  ! "  " *   *   * !    " *  ** " *  * *   



 

      " *       *   ** " *       *          *   *  !         *  * * * *  * * *   *















)       !         *                   8   *8 "        *  * * !            & ' '        #  8*   #   

   $ %   

- !

 

       * " *    ** " * 

  '     #     &  &   ,   !   8  *          $  $     *   

       !    &    &                         !              *  !              *  (            )           #    !     &    &   # )      )    )      !    )     "    !     & &      '*!                ' )    *    ! *                  $  $  )  *    * (    !       *  (   '      ! (    $      &    &  $  %$  '$   %&'   $  !        '                '       #      *                   #   #     * * !  **   *  * *  #   " *       " * "     



















  





























+

  )   *   !                                                   ! !  !     *  8 *    &   '        &  !  $     & '       )              

+

'

' .  ..







!  !$   "   

                *     8           



,

 !          *         *         !                (!            #  8      8    !    8*     *                     !       *     !               * (    9                       !    !    *             !      *          !            "   ! *             *  " *    *     !  !   (     !   8         !         "                      !   8      ( &  '        *  !                    *        *    !                &      !'  )  8* *    *           *       !              !             !            *    !    

      !        (    !                      ! !                  !           $        !  &*             *                   *   !      ! *   '       !  "  *    



 . 

+

+ !

 !





&$&

( "



+

#

 $

+

 #  $   $$

(

(

+

,

+

.

 

$



+ !

' + +

+

  *                        $       !   9   &  ! &    '      *      !                                (                     &                   &*           

+ 

 



"

+

#







.(

 









  

+

-

) "

'           !        (   8 *          !           '                     !     



   

"      ! !             

     '                                  * #$    ! 

     

            &  $  '                     (     (                 * (            !                       )" " "                 *      " &*    **  " #           !     *                 *                         !   *    *        8    *       "               *          )" "

         '  ( !      +

+







,



&

+



+ +

&





."

&



'



 !$   "   

+







  

  *      !   

          !      * !        !          '     !  !    8        # $ %8 $  & !      (       !         !     &" $$$  



     .    +   #              . '  "     & !      !       

       *  !                          !   (                          









-







 

 !                    !    *     *  !     !                      *                  *   (      *             ) $$#          * (                   )        *           !                     & !   " (                    *           !            "       $              !    $ ) $ #  "      8           !             '                         '    !   !              *      !                 

 ( "



!

(

&$&$

$

$ 

&  & &       

+ "(

+

+

.$



#

+

+ 



      !                     *       *       &        

                  * !                           '          8* !        " *  

  " *   !   *      ) $$     # &                # !  

            



           +         . . #    + +*            *   + 









 

 

,

"        8       ! ! !8    

    '       "       

& & 

                  *   *             "           ,&*                     & 



















 



*   !       , *         

      

 





"  8     8           *               8    

%&'&(

  %&    '&    (&

 %  '  (* "     ! %    & '    & (    

*  







)

%  '  (&'  (  %&(  %  '

 '                                 !                    &   '         

 &  "#

%&'&(  &! & 

+

 !$   "     ) $"" .       ,                 '               &       &      &  !                   !  &*     !&  &        *    

 & &          









 

 





%  '  (   # )         *    %&'&( *   %'  '(  (% #  ) $  & %&'&(         !   % '  (  %  ' (  %  '  ( %  '  ( #%'( . ) $"#  # %&'&(            !   '('  (  (%(  %  %'%  '  -*         % ' ( *     9   -  8   $$  #     &*        '   !   !     ,   )   ! 8* *       "( (   !  8         !      % &    &%  #          %   %     %   %  &*          % &% &%           

























 













" #      *         !                 $ ) $$.   #       !+      #  &  & &        &  &  &   !         





                      #  &  &        &  &    !  !               





















!

"      !   8 ! !           

! !        &             

   !    "  * !                                             !      !            *   !      !           *  '   * 8*      8 *  !  8  *    !  !        *    !  )       !      & ! *  '         & * '  "          8  (    !     ' 8    !     * * *  *            

   #   * !  * * *      # * **    * # 

+

+

&

   

&



)

)

 









 











+

+



+

+





 *

+

+

  & &    

* "   *    &    &                +    !+            ",     "    +           *  !                   !            #    *#  ##* 



























+

)  *               (       !         "     !                  8    *           !      *    

+&

)

 *



    &$&    $       !$   "   #  - ( &*                 #  &    -          (               !    -    ! +   * -       !+     &  *  # - . # & &          !                       #   !     ,          ,    +    . - .$ !                #             !+              &*             !+      (    - 8   $$ (#) & &   &  &      *   ,            !        !            *      "    $$ " ) 

     *      *          

 *      !  " *    * !  * * *  " * * " *  *      " * *    *  *   * !  * *  















 

























    # 

#



      

 



  





'

'  *     *           *  !           ) *                   %       $# $$   $#  ( !            

.

, 

& $&  # 

#

      *         & &  

 * " * *  *              *    

*  *     *    * 

    

  '                      *   *  ,        '         #  &  &        !      & &    * ( !          $ 











+

'   , *             !       *  $                         *  &   !                                          $      * 

 

  & # 

  +               &               *                                  *     *        

          ",     '   !            & *                 !$   "   %          !  *                          















  !  -*     $     *                        9 # & !   .     ,      )   $$ .#    !+ +                       # , & . &    

      &  &   !          +  !   ,  .    "              !    ,                 .  8 &  &   8 ! '                        )                      !        )

































 

 





 !$   "   /  !        *                     !         *        !     8  !                  







           #(, -     .     !   , - .   !      *    &  &          (             $  

#

#         

    *     







.



. # %&'&(         *         &*   %      '(     ' *         !  

       !  *    *     +                       !                      *   (           *  !               











































 

     ,  ,

'        !             

   !                   * 8*      )         !                !               !             ! ,     *     ,                     !           



+

+ +



 

 



'        * *             !  *   *          

    *     * "  

     "  

    %'     %  '   (                 "        *   *   #      * *  (  %  '  %'   













(

   %      $





 *    





 * *  *  * *       * 



     

   

   

   

   

   

                                                   !            !  ! 

  / "$      $                                                                     )             ,          ! *  $                                           *  $                               '  ,     8 !        " 







 





 



 

    



     %&'&( *  "        '       %%'    (     %'

* * 





+



 

)                     *    

      

                         !              !$   "           !                          *    *    *   *   *   *  &*          !+           



 * 

 *  *   

 *







                                

 



#              *                   !                (               *            !        '      *            &" $$  '          !       #      

         (       9  ) $  "                  '              !   

 . 

+



".

 . 

!

  





     ,       

$

 



,,

"           (     * *    *     &    '      *              ,        *             (               * )" " )        !         & ,  *  '      !       )    *!        *   (   *   !            ) ,         *      '        !                     !   !       "   (           *                 ' 8                       "            "   *   (     !      *         

    8                           '              *  !        *         *  !      '          !    *        (          *   *               )" "

&

&



       & % &% ' &'  %'  % '      + % &% &% ' &' &'  % ' % ' &% ' %' &%' % '             & & & & &        &   "    " *  *                              +   

  *             *      "   " "     &  &    "   "   *            























+,



' !                      *      '  8                                           *8 *  9

+

(

    )







   % '  (    

 

 !$   "     &  $$( #    !+ +       &$   &       &     &      !   







$  $         



          

 # &$&      !           ! +,          *   $*$  *        +  !          )                        .  # & !     #   !+         # + &         +  +     &$           $  $  &*      +  $  !        $$.  !      !      "      *                  



-

















* &        *                  !           *   !           !        $$         !       )    *                                *      &        *                                                     *                               "   $ $              !

. #

#

&  & & 

( " ,

  & & & & +  & & &  &   &  &  &

,





%&'&( + ( # &  & & +           

(





.. +

 * 

,

,,

$ &*      *             #          *          !     #                       &       *                      











,



++

+

,

,

)                 !  '   ,          *             *  !    ' !    *     

                           *          &  ## "          !        *       *    #$

+ + + (  $    $    & & & 







+

+

  *



#   " * *  " *

     &    * *        * ! *  

  &   &  &  &   +   *  !                        '*!          8*      '                



+  !$   "   #



                  9 '              



&  &                                  *       #  & &&&         "               & &   !  !       * !       &  &       !  





   









(

 



+

,

#                      

   !                   '      8*   **    "  * *                     !   !     &*                     !                 &*                                ) $                          !                        * ! !         *   )    !         *   !           !       *    "              "   '    !                !    !               !          !                          $    $$                  *       !    * 

  # &$& &



. #     (( ( "

+

+ +



   & &  &$  &  & & + + , +

 

+



   +  & & & + +  &   &  +& + &  &#

,



, 



             % " #'   ( 

 &  & & 



   %  '  (  %'(& *                     







) *  (                                          *  * *   * 

*          ! *   

  *  * *   #    &   





(#

"(

,

)                      *                       (                         ! *         *  !          *        '  )                   *    

      8*  *          '  *                                 !   *    !                   

          #       "  *     *   *

++

   









+





& & & &    #  *  *     * !   *  *      "  *   * #                              !   * #  

*   *    ,   +    *  *           "   !     

 

























)  , & !    %  $  "   ) $""    *        

    *       #  (+            !         

                  &' "' 







#

 .



 

    '            '                 )                   !    

           

!           

!         '       !  

   !  !                 *   * (                                  $$  )        !  )                       !  

    



!

      & & & &  



.

&&&& 



(



+





    

  # 

  #

#  # 

   

 #         &*  $$  '           *     *                                               !  











# & &







       

(.

  

'      !      *          )  (              (      * 9  '          !           *           !     *8  8*   !       *                   *      !+       )  !  8       *     !                  *      !   ) 





              *       *       9  *                      &*     (     *   (                        *      (     '   *     '  !               (  )         (          8  8*   (       *         "           

   

#

### 



'

. # 

     



 











+



(





   

    +  #  ' .  !          * !     !+ +      * +    .  !         *               . *-  !          "   *  *    *   '         *        .# '           . ' (+             .. &*         +      .   .#.  (+  *    ,       *       .         *          .( "   # *                . ## &*    *  !         !    ("         *      (# &      * *          ! (#         "  8                      +    8        " *

+(!     (!    "# *"    !            

    (   *    +    ".  *    *

    *      *       *     (( 







































"(    !      8           !    "(. )    +      *     "((    !      8              (  "( & 9 &       *      $                  $"   !      *   8  '                                       &   !     $$   )       8          ,     %    "  )      '    









("

  

  ' '  ( . '  &. ' ( " & '

&  ,

&&

      ! %     %  &   ! %     %   *      ,   $  &    &             "    "    $ "' #  ! )   *    !        "  8   *

"      * , $       ) #   )    &        '      ## * 8 $$    ) #   &        '        * 8 $   "  *   *      !   $ $    * "   &   ! %    * ) *  *   *    $ $ $ )  &  !   ) #           &    * 8 $$     & !    '   * * * "    &         '       * 8 $$    &!  *  *    "" '   )      *  *     *        * 8 $ # 





+ #





#













((



 



+

-



"  

"



"

 +









,

,

  



  & '

(

($



,'

+

&

 +

.

,

,

#

,