Symboles de Manin et valeurs de fonctions L Loïc Merel

Institut de Mathématiques de Jussieu, Université Paris-Diderot, UFR de Mathématiques, case 7012, 2 place Jussieu, 75251 Paris cedex 05, France [email protected]

À Yuri Ivanovich Manin à l'occasion de son soixante-dixième anniversaire

1 Introduction 1.1 Les symboles de Manin

Soit

k=2

N

un entier

une fonction de

f.

Soit

f

une forme modulaire parabolique de poids

ξf : (Z/N Z)2 → C

Γ1 (N ).

Dans [10], Y. Manin lui associe

dont les valeurs sont les symboles de Manin

Cette fonction est dénie ainsi.

Soit

N 

> 0.

pour le groupe de congruence

(u, v) ∈ (Z/N Z)2 .

dans le groupe additif

a b c d

On pose

ξf (u, v) = 0

(Z/N Z)2 .

si

(u, v)

n'est pas d'ordre

Sinon on considère une matrice

g =

 ∈ SL2 (Z)

telle que

(c, d) ∈ (u, v) Z

et on pose

g∞

ξf (u, v) = −i

f (z)dz, g0

où l'intégrale est prise le long d'un chemin continu du demi-plan de Poincaré.

f 7→ ξf est injective. On peut même être plus précis. Si on pose ξf+ (u, v) = (ξf (u, v) + ξf (−u, v))/2 et ξf− (u, v) = (ξf (u, v) − ξf (−u, v))/2, les + − applications f 7→ ξf et f 7→ ξf sont injectives [10]. L'application

Rappelons en quoi cette construction est utile à l'étude des symboles modulaires : elle a notamment permis a Manin d'établir sa loi de réciprocité [10, 11, 14] et est souvent le fondement des calculs sur ordinateur concernant les formes modulaires (voir [5] et les tables de W. Stein). Par ailleurs, les expressions (si utiles en vue de construire des fonctions L p-adique, d'établir des théorèmes de non-annulation...) en termes de symboles modulaires des valeurs en s = 1 des fonctions L des tordues de f ne font pas

2

Loïc Merel

intervenir les symboles de Manin. C'est à ce lien manquant que fait référence notre titre. Notre objectif est, en réalité, inverse de ce qui est obtenu par la démarche classique : lorsque

f

est une forme primitive (i.e. propre pour

l'algèbre de Hecke, nouvelle et normalisée), nous exprimons les symboles de Manin de

f

purement en termes des fonctions

même qu'il sut de tordre

f

L

des tordues

f.

Nous verrons

par des caractères de niveaux divisant

N.

1.2 Analyse de Fourier multiplicative

Supposons désormais

f

primitive de niveau

mée de Fourier multiplicative de

m ≥ 1,

ξf

N . Nous calculons la transfor-

en le sens suivant.

Σm le support de m dans l'ensemble (u, v) ∈ (Z/N Z)2 d'ordre N . Notons N 0 l'ordre de uv dans Z/N Z. Soit S un sous-ensemble de ΣN contenant le sup¯ = ΣN − S . On identie port de u mais disjoint du support de v . Posons S ∗ 0 (Z/N Z) à ∪d|N (Z/dZ) (par w 7→ wNw /N (mod Nw0 ), où Nw0 est l'ordre de w dans (Z/N Z)). Les images de u et v par cette identication sont uNS0 /NS 0 0 0 et vN ¯ /NS ¯ /NS ¯ respectivement ; les entiers NS /NS et NS ¯ ne dépendent pas S 2 du choix de S . Toute fonction ξ : (Z/N Z) → C s'écrit sous la forme X ξ(u, v) = cα,β α(NS0¯ v/NS¯ )β(NS0 u/NS ), Pour tout entier

on note

des nombres premiers. Supposons

α,β

ξ , α, β et N 0 et où α et β parcourent les caractères 0 de Dirichlet primitifs de niveaux divisant N . Le théorème 1 donne une forme explicite aux coecients cα,β lorsque ξ = ξf . Soit χ un caractère de Dirichlet de conducteur à support dans ΣN . Notons f ⊗ χ la forme primitive dont le p-ième coecient de Fourier est ap (f )χ(p) (p nombre premier ne divisant pas N ). Notons Nχ le niveau de f ⊗ χ. Notons L(f ⊗ χ, s) la fonction L de f ⊗ χ. Elle admet un développement en série P∞ Q s −s de Dirichlet ), où n=1 an (f ⊗ χ)/n et en produit eulerien p Lp (f ⊗ χ, p k−1 2 Lp (f ⊗ χ, X) = 1/(1 − ap (f ⊗ χ)X + ap,p (f ⊗ χ)p X ) (p nombre premier) ;

où cα,β dépend seulement de

on complète ce produit pour former

Λ(f ⊗ χ, s) = (2π)−s Γ (s)Nχs/2 L(f ⊗ χ, s). ap = ap (f ) et ap,p = ap,p (f ). Notons ψ le caractère de Dirichlet ψ(p) = ap,p (f ) (p nombre premier ne divisant pas N ). On pose f¯ = f ⊗ ψ¯, et on a an (f¯) = a ¯n (f ) (n entier ≥ 1). + − Lorsque T et T sont des ensembles nis de nombres premiers, on prive Λ(f ⊗ χ, s) de certains facteurs d'Euler en posant On pose

vériant

Λ[T Lorsque pose

+

,T − ]

R+

(f ⊗ χ, s) = Q

et

R−

Λ(f ⊗ χ, s) Q −s ) ¯ ¯ ps−k ) . p∈T + Lp (f ⊗ χ, p p∈T − Lp (f ⊗ χ,

sont des sous-ensembles de

T+

et

T−

respectivement, on

Symboles de Manin et valeurs de fonctions L −

+

Λ

+

[ T+ , T− ] R

R

−

+

3

−

Λ[T −R ,T −R ] (f ⊗ χ, s) Q (f ⊗ χ, s) = Q −s−1 ¯ ¯ ps−k+1 ) . p∈R+ Lp (f ⊗ χ, p p∈R− Lp (f ⊗ χ,

vp (N ) = 1 (où vp est p sont spéciaux pour f (ils correspondent aux représentations spéciales de GL2 (Qp )). Notons Σf l'ensemble des nombres premiers spéciaux pour f . Le cas qui nous intéressera est le cas + − où R et R sont composés de nombres premiers spéciaux pour f . Pour S sous-ensemble de ΣN et M nombre entier ≥ 1 de support ΣM ⊂ ΣN , posons M = MS MS¯ où MS et MS¯ sont à supports dans S et ¯ ) = ΣM ∩ S¯. On note S¯ respectivement. On pose S(M ) = ΣM ∩ S et S(M ¯ ¯ wS (f ⊗ χ) la pseudo-valeur propre de f ⊗ χ pour l'opérateur d'Atkin-Lehner associé à S (voir [1] ou la mise au point de la section 2.2). On note de plus w(f ⊗ χ) = wΣN (f ⊗ χ) ; on a Nous dirons que les nombres premiers

p-adique)

la valuation

Λ[T

,T − ]

ψ

p

qui vérient

non ramié en

(f ⊗ χ, s) = ik w(f ⊗ χ)Λ[T

−

,T + ]

(f¯ ⊗ χ, ¯ k − s).

ΣN , on convient de décomposer α = αS αS¯ , où αS et αS¯ sont des caractères de Dirichlet de ¯ respectivement. niveaux à supports dans S et S Pour p ∈ ΣN et χ caractère de Dirichlet, notons mχ le conducteur du caractère primitif associé à χ divisant N et Qp,f,χ (X) la fraction rationnelle

Pour

α

α

+

et

caractère de niveau à support dans

sous la forme

suivante :

Qp,f,χ (X) = (¯ ap p1−k/2 )vp (N sauf si

ap = 0, vp (N 0 ) = 1

et

vp (mχ ) = 0,

0

/mχ )

auquel cas on a

−1 Qp,f,χ (X) = −χ(p)X ¯ .

p, ap , χ(p), vp (mχ ), k et vp (N 0 ) ; c'est donc un objet local. De plus on note τ (χ) la somme de Gauss associée au caractère primitif provenant de χ. Notons φ la fonction indicatrice d'Euler.

Cet objet désagréable dépend de

0

Théorème 1. On a

ξf (u, v) =

¯S¯ ) τ 0 (χS )τ 0 (ψ¯S¯ χ w(f ) X ¯S χ p )χ (−1) χ (m )( ψ ¯ )(m ¯ ¯ ¯ χ,S S S S ψ χ, ¯ S φ(N 0 ) χ Nχ Y Y ( Qp,f,χ¯ (1))( Qp,f,χψ (1))(ψ¯S¯ χ ¯2S¯ )(Nχ,S )wS (f ⊗ χ) p∈S(N 0 ) Σ

Λ où

χ

0 −S(mχ ) χ ))∩Σf

[ (S(N 0N )−S(m

¯ 0) p∈S(N Σ

¯ 0 −S(m ¯χ ψ ¯)

N , (S(N 0 )−S(m ¯ ¯

¯χ ψ ¯ ))∩Σf

]

(f ⊗ χ, 1)(ψ¯χ)( ¯

mχ,S mψχ,S¯ |N 0 . La − ξf ) est obtenue en faisant disparaître les

parcourt les caractères de Dirichlet primitifs tels que

+ formule analogue pour ξf (resp. termes pour

χ

impair (resp. pair).

NS0¯ v N0 u )χ( S ), NS¯ NS

4

Loïc Merel

1.3 Interprétation arithmétique

La formule du théorème 1 est si peu aisément manipulable, si inapte à s'insérer dans le langage naturel, que le lecteur séduit par le point de vue exposé par Manin dans son essai Mathematics as Metaphor [12] pourrait penser qu'elle présente bien peu d'intérêt. Nous espérons que les conséquences qui suivent peuvent eacer cette impression. Il procède d'un examen superciel du théorème 1 et de l'injectivité des applications

f 7→ ξf+

et

f 7→ ξf−

l'énoncé suivant.

Corollaire 1. La forme modulaire

f

2

primitive de poids

pour

χ

ractérisée par les données suivantes, où on fait parcourir à Dirichlet pairs (resp. impairs) de conducteurs divisant (i) le caractère de

N

Γ1 (N )

est ca-

les caractères de

:

f,

f ⊗ χ, wS (f ⊗ χ), −s (iv) les facteurs d'Euler Lp (f ⊗ χ, p ), pour p ∈ ΣN (v) les nombres complexes Λ(f ⊗ χ, 1). (ii) les niveaux des formes primitives

(iii) les pseudo-valeurs propres

et

ξf comme une façon commode (i), (ii), (iii), (iv) et (v).

Nous sommes donc tentés de voir la fonction de comprimer et de manipuler les données

On pourrait rendre l'énoncé et la démonstration du théorème 1 plus agréables en employant le langage adélique. Les données (i), (ii) (iii) et (iv)

 associés GL2 (Qp ) provenant de f après torsion conducteur ≤ vp (N ), pour p ∈ ΣN .

sont équivalentes à celles issues des facteurs d'Euler et des facteurs aux représentations irréductibles de par des caractères de

Q∗p

de

On est tenté de rapprocher le corollaire 1 du théorème de Hecke-Weil [17] sur la caractérisation, par les prolongements analytiques et les équations fonctionnelles, des séries de Dirichlet qui proviennent des formes modulaires, voir la section 3.3. Nous avons à l'esprit tout spécialement la version précise due à W. C. W. Li [8] qui, comme le corollaire 1, ne fait intervenir que les

N . On précisera ξf , on peut retrouver les invariants (i), (ii), (iii), (iv) et (v) notamment lorsque f est de niveau minimal parmi ses

tordues par les caractères de conducteur divisant le niveau dans la section 3.2, comment, à partir de

tordues par des caractères de Dirichlet, auquel cas nous essaierons d'indiquer en quoi l'information contenue dans

ξf

est optimale.

Notre travail ne semble pas présenter de lien avec le théorème de Luo et Ramakrishnan [9] qui caractérise

χ

f

par les nombres complexes

L(f ⊗ χ, 1)

où

parcourt une innité de caractères quadratiques. Il résulte du théorème 1 un énoncé de théorie analytique des nombres.

Corollaire 2. Il existe des caractères de Dirichlet respectivement, de conducteurs divisant

N

χ+

et tels que

χ− , pair et impair L(f ⊗ χ+ , 1) 6= 0 et

et

L(f ⊗ χ− , 1) 6= 0. En raison de la modularité des courbes elliptiques [3] et des résultats obtenus par Kato [6] sur la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer et ses variantes, on obtient des conséquences diophantiennes dont voici l'exemple type.

Symboles de Manin et valeurs de fonctions L

5

E une courbe elliptique sur Q de conducteur N . Soit Q(µN ) une extension cyclotomique de Q engendrée par une racine primitive N -ième de l'unité. Notons Q(µN )+ le plus grand sous-corps totalement réel + de Q(µN ). La représentation régulière du groupe de Galois Gal(Q(µN ) /Q) + + n'intervient pas dans le Gal(Q(µN ) /Q)-module E(Q(µN ) ). Corollaire 3. Soit

Le lecteur pourra trouver des généralisations du corollaire 3 pour les groupes de Selmer

p-adiques

des motifs associés aux formes modulaires, en

s'appuyant sur [6]. Nous nous demandons s'il existe une direction directe (i.e. ne faisant pas appel aux formes modulaires) du corollaire 3.

1.4 Perspectives

ξf

f , on peut, en principe, exprimer tout invariant ξf , puis en combinant avec le théorème 1, en terme des données (i), (ii), (iii), (iv) et (v). Ce principe appliqués aux valeurs de fonctions L construites à partir de f (via des puissances tensorielles, la torsion Comme

associé à

f

détermine

en terme de

par des caractères etc) produirait alors des identités numériques entre valeurs de fonctions

L. Nous donnons un exemple de telles identités dans la section 4. L(f, 2) en termes des ξf [4], qu'on peut

Dans sa thèse, F. Brunault exprime

combiner avec le théorème 1. Y a-t-il une théorie systématique ?

2 Formulaire préliminaire Cette section consiste en des mises au points concernant des questions essentiellement déjà connues. Elles concernent en 2.1 la suppression des facteurs d'Euler des fonctions

L,

en 2.2 les opérateurs d'Atkin-Lehner, en 2.3 et 2.4 la

torsion des formes modulaires par des caractères non nécessairement primitifs, en 2.5 la translation des formes modulaires par des nombres rationnels. Dans les sections 2.6 à 2.8, qui ne seront pas utiles avant la section 3.2, nous rappelons ce qui est connu sur le comportement aux mauvaises places des formes modulaires tordues. Pour tout cela nous avons trouvé une aide précieuse dans un article d'Atkin et Li [2].

2.1 Suppression des facteurs d'Euler

On note

GL2 (Q)+

le sous-groupe de

 déterminant de poids

k

> 0.

On pose, pour

et de niveau

F |

A C

M

A C

B D

GL2 (Q) formé par ∈ GL2 (Q)+ , et F

:

k/2  (z) = (AD − BC) F ( Az + B ). B (Cz + D)k Cz + D D

les matrices de forme primitive

6

Loïc Merel

C-linéairement

Cette opération s'étend

+

C[PGL2 (Q) ].

C[GL2 (Q)+ ] ;

à

−s

(2π)

∞

Z

F (iy)y s

Γ (s)L(F, s) = 0

 h=

On a, pour

∞

Z 0

A 0 0 D



A = ( )k/2−s F|h (iy)y y D T+

F [T

et

,T − ]

+

T−

dy . y

∈ GL2 (Q)+ ,

sdy

Soient

elle se factorise par

Gardons à l'esprit la formule suivante

∞

Z

F (iy)y s

0

A dy = ( )k/2−s (2π)−s Γ (s)L(F, s). y D

deux ensembles de nombres premiers. On pose

=F Q |

 p∈T +

Lp (F,p−k/2

p 0 0 1



 )−1

Q

p∈T −

Lp (F¯ ,p−k/2

1 0 0 p

,

 )−1

de telle sorte que

∞

Z

F [T

+

,T − ]

(iy)y s

0

(2π)−s Γ (s)L(F, s) dy Q = Q −s ) ¯ s−k ) y p∈T + Lp (F, p p∈T − Lp (F , p = M −s/2 Λ[T

On pose, lorsque

R+

et

R−

+

,T − ]

(F, s).

sont des sous-ensembles de

T+

et

T−



1 0 0 p

respec-

tivement, T+

T−

F [ R+ , R− ] = F

[T + −R+ ,T − −R− ]



|

Q

p∈R+

Lp

(F,p1−k/2

p 0 0 1

 )−1

Q

p∈R−

Lp (F¯ ,p1−k/2

 )−1

si bien que

Z 0

∞

T+

T−

F [ R+ , R− ] (iy)y s

T+ T− dy = M −s/2 Λ[ R+ , R− ] (F, s). y

2.2 Opérateurs d'Atkin-Lehner

Mettons au point les normalisations pour les opérateurs d'Atkin-Lehner. Notons

ψ0

le caractère de nebentypus de

F.

Notons

M0

ψ0 . ΣM .

le conducteur de

M soit à support dans ΣN . Soit S un sous-ensemble de S¯ = ΣM − S . Posons M = MS MS¯ et M 0 = MS0 MS0¯ et ψ 0 = ψS0 ψS0¯ . Soit   A B ∈ M2 (Z) telle que MS |A, MS |D, M |C , MS¯ |B , AD − BC = MS , C D A ≡ MS (mod M 0 ) et B ≡ 1 (mod MS0 ) ; on pose alors, comme Atkin et  et il existe un nombre complexe wS (F ) de Li dans [2], WS F = F  A B | C D

Supposons que Notons

Symboles de Manin et valeurs de fonctions L

1

module

tel que

WS F = wS (F )F ⊗ ψ¯S0 .

MS |A, MS |D, M |C , MS¯ |B F |

A C

et

B D

 Lorsque

AD − BC = MS ,

A C

B D

7

 ∈ M2 (Z)

avec

on a de plus [2]

 = ψ 0 (B)ψ 0¯ (A/MS )WS F. S S



 A B ∈ M2 (Z) vérie les conditions C D NS NS0 |A, NS NS0 |D, N N 0 |C , NS¯ NS0¯ |B et AD − BC = NS NS0 , on a

Lorsque

M |N N 0 , M 0 |N

F |

Lorsque

A C

S

B D

et lorsque

 = wS (F )ψ¯0 (B)ψ¯0¯ (A/(NS N 0 ))F  S S S |

est égal au support de

M,

on pose

NS NS0 /MS 0

0 1

.

wS (F ) = w(F ).

On a de plus [2] proposition 1.1,

wS (F )wS (F ⊗ ψ¯S0 ) = ψS0 (−1)ψ¯S0¯ (MS ). Mentionnons enn la formule, pour

ΣM ,

S1

et

S2

(1)

deux sous-ensembles disjoints de

WS2 (WS1 F ) = ψS0 2 (MS1 )WS1 ∪S2 F. wS (F ) aux cas où S est un singleton. p un nombre premier tel que ap (F ) 6= 0 vp (M ) = vp (mψ ) ou si vp (M ) ≤ 1). On a

Cela permet de ramener le calcul de

Ajoutons la formule suivante. Soit (c'est le cas si et seulement si

w{p} (F ) = où

pvp (N )(k/2−1) τ (ψS0 ) ap (F )vp (N )

τ (ψS0 ) est la somme de Gauss du caractère (non nécessairement p est spécial pour F , on a ap (F )¯ ap (F ) = pk−2 .

primitif )

ψS0 . Si

2.3 Torsion des formes modulaires par des caractères quelconques

Revenons maintenant sur la torsion des formes modulaires par des caractères. Soit

α

m, de caractère de Dirichlet ω , lui-même de conducteur mω . Notons f¯α la forme modulaire

un caractère de Dirichlet de niveau

primitif associé

(non nécessairement primitive) donnée par le développement

f¯α (z) =

∞ X

a ¯n α(n)q n .

n=1 Elle est liée à la forme primitive

f¯ ⊗ ω

par la formule

f¯α = (f¯ ⊗ ω)[Σm ,∅] .

8

Loïc Merel

Posons de plus

X

Sα f¯ =

α ¯ (a)f¯ |

amodm

α

On a, lorsque

Soit

p

ω ), Sω f¯ = τ (¯ ω )f¯ω .

est primitif (et donc égal à

un nombre premier divisant

de niveau

m/p

qui coïncide avec

Sα f¯ = a ¯p p

1−k/2

α

m/mω .

Notons

β

le caractère de Dirichlet

sur les entiers premiers à

(Sβ f¯)  |

Posons, dans

.

1 a/m 0 1

p 0 0 1

p.

On a

 − β(p)S ¯ ¯ βf.

C[X],

Rp (X) = (¯ ap p1−k/2 X)vp (m/mω )−1 (¯ ap p1−k/2 X − ω ¯ (p)).

(2)

Par une application répétée de la formule 2, on obtient

Sα f¯ = τ (¯ ω )(f¯ω ) Q |

 p

Rp (

p 0 0 1

, )

m/mω .

où le produit porte sur les nombres premiers divisant

vp (m/mω ) = 0, Rp = 1. Si vp (m/mω ) = 1 et ap = 0, on a Rp = 0. Si vp (m/mω ) > 1 et ap = 0, on a Rp = −¯ ω (p). Or on a, lorsque ap 6= 0 et p|N non spécial pour f¯, ap a ¯p = pk−1 et donc, + lorsque de plus p|m on a, dans C[PGL2 (Q) ],       p 0 p 0 vp (m/mω ) 1 0 1−k/2 −k/2 Rp ( ) = (¯ ap p ) (1 − ω ¯ (p)ap p ). 0 1 0 1 0 p Il est nécessaire maintenant de distinguer plusieurs cas. Si

on a

Cette dernière formule est encore valable lorsque Lorsque

p|(m/mω )

et

p

est spécial pour

f¯,

ap = 0 et vp (m) > 1. ap a ¯p = pk−2 (et

on a

donc

ap 6= 0). On a donc       p 0 p 0 vp (m/mω ) 1 0 Rp ( ) = (¯ ap p1−k/2 ) (1 − ω ¯ (p)ap p1−k/2 ). 0 1 0 1 0 p Lorsque

ap = 0, vp (m) = 1

et vp (mω ) = 0, on a   p 0 Rp ( ) = −¯ ω (p). 0 1

On a donc

[Σm , Σ

Sα f¯ = τ (¯ ω )(f¯ ⊗ ω)

| où le monôme

vp (mχ ) = 0,

Pp (X)

 Q p

Pp (

p 0 0 1

vp (m/mω ) (¯ ap p1−k/2 sauf  X) p 0 on a Pp ( ) = −¯ ω (p). 0 1

vaut

auquel cas

Σm/m ω m/mω ∩Σf

]

,

(3)

) si

ap = 0, vp (m) = 1

et

Symboles de Manin et valeurs de fonctions L

9

2.4 La torsion des formes modulaires par des caractères de niveaux divisant

N

Reprenons la situation laissée en 2.3 en nous plaçant dans le cas où est un diviseur de Lemme 1. Soit

p

N0 = m

N. un nombre premier tel que

[∅,p]

(f¯ ⊗ ω)



|Pp (

p 0

p|mω

 = (f¯ ⊗ ω)

0 1

et



|Pp (

)

p|(N 0 /mω ).

p 0

0 1

On a

. )

Pp = 0 ou que ap (f¯ ⊗ ω) = 0 = ap,p (f¯⊗ω). Supposons Pp 6= 0. Si ap = 0, on a vp (mω ) = 0 et vp (N 0 ) = 1, ce qui entraîne ap (f¯⊗ω) = 0 = ap,p (f¯⊗ω). Restreignons maintenant notre attention au cas où ap 6= 0. Rappelons d'abord que cela entraîne que le conducteur de ψ a pour valuation p-adique vp (N ) (ce qui entraîne ap,p (f¯ ⊗ ω) = 0) ou que vp (N ) = 1. Les hypothèses excluent le cas vp (N ) = 1. On a de plus ap (f¯ ⊗ ω) 6= 0 si et seulement si ω est de conducteur premier à p (impossible ¯ par hypothèse) ou ψ/ω est de conducteur premier à p ; ce dernier cas est 0 impossible, en eet on a p|(N /mω ), et donc p|(N/mω ) et les valuations p¯ adiques des conducteurs de ψ et ψ/ω sont égales et donc non nulles. On a ¯ bien ap (f ⊗ ω) = 0. Démonstration Il sut de montrer que

On a donc, par applications répétées du lemme 1 à la formule 3,

[ΣN 0 , (Σ

Sα f¯ = τ (¯ ω )(f¯ ⊗ ω)

|

Σ 0 −Σmω N −Σm ) ∩Σf N0 ω

 Q p

Pp (

p 0 0 1



]

,

(4)

)

2.5 La torsion des formes modulaires par des caractères additifs

Soit

n ∈ Z.

Récrivons la forme modulaire

f¯

1 n/N 0 1



comme combinai-

parcourt les diviseurs de

N

et où

| son linéaire de

F

d 0

0 1



où

d

F

parcourt

N 2 /d. Nous ne savons pas si un pareil 0 nombre entier et N le diviseur > 0 de

les formes primitives de niveau divisant calcul a déjà été rédigé. Notons

N

qui vérient

n0 /N 0 = n/N . f¯ |

où

α

n

0

le

On a, par inversion de Fourier,

0

1 n /N 0 1

0

=

X α(n0 ) Sα f¯, φ(N 0 ) α

parcourt les caractères de Dirichlet de niveau

formule 4, on obtient

N 0.

En combinant avec la

10

Loïc Merel

f¯ |

1 n/N 0 1

=

Σ 0 −Σmω X ω(n0 ) [ΣN 0 , (Σ N ] −Σ ∩Σ N0 ¯  mω ) f τ (¯ ω )(f ⊗ ω) 0 Q p 0 φ(N ) ω | Pp ( ) p 0 1

où ω parcourt les caractères de Dirichlet primitifs de conducteur mω N 0 , le produit portant sur les nombres premiers divisant N 0 /mω .

(5)

divisant

2.6 Invariants locaux des tordues de formes modulaires, première analyse

n un entier > 0. an (f ⊗ χ) = an χ(n) et

On reprend les notations de 2.1 et 2.2. Soient

mχ

et

NS

premiers entre eux. On a

Supposons

wS (f ⊗ χ) = χ(m ¯ χ )wS (f ). De plus si

N

est premier à

mχ , le caractère de f ⊗χ est ψχ2 et on a Nχ = N m2χ . mχ , NS et n ne sont pas premiers

Nous allons maintenant étudier les cas où entre eux.

p un nombre premier. On dit que f est p-primitive par torsion si pour χ de conducteur une puissance de p, le niveau de f ⊗ χ est ≥ N . C'est évidemment une propriété locale, qui serait peut-être davantage mise en valeur par le langage adélique. On suppose que mχ , NS et n sont des puissances de p et que f est p-primitive par torsion. Notons (ψχ)0 le caractère primitif associé à ψχ. On a Soit

tout caractère de Dirichlet

Lp (f ⊗ χ, X)−1 = 1 −

a ¯p (ψχ)0 (p) X. p

Comme on a

fχ = f ⊗ χ



|Lp (f ⊗χ, On a donc, puisque

χ

p 0 0 1

.

 )−1

est primitif,

f ⊗ χ = fχ

a ¯ (ψχ)(p) |(1− p p



p 0 0 1

Pour progresser dans l'étude des invariants de

.

 )−1

f ⊗ χ,

il faut distinguer deux

cas [2],  on a

ap (f ) 6= 0

(cas de série principale), cela assure que

f

est primitive par

torsion, ou  on a à

ψ

ap (f ) = 0

et le conducteur du caractère de Dirichlet primitif associé

est de valuation

p-adique ≤ vp (N )/2 (cas supercuspidal). f est p-primitive, voir [2].)

condition n'entraîne pas que

(Cette dernière

Symboles de Manin et valeurs de fonctions L

11

2.7 Invariants locaux des tordues de formes modulaires, cas de série principale

Reprenons la situation laissée en 2.6 en supposant non trivial. Le niveau

Nχ

de

f ⊗χ

ap 6= 0.

On suppose

χ

est donné par la recette suivante [2]. On a

vp (Nχ ) = vp (mχ mψχ ). On a [2] théorème 4.1,

τ (ψS χ) wS (f ⊗ χ) = ψ¯S¯ (mχ )χ(−1) τ (χ) ¯ si

vp (mχ ) ≥ vp (N )

et

vp (mχψ ) = vp (mχ ).

wS (f ⊗ χ) = ψ¯S¯ (mχ )χ(−1)( si

vp (mχ ) < vp (N ).

On a de plus, [2] théorème 4.2,

NS k/2−1 τ (ψS χ) ) mχ aNS /mχ (f )τ (χ) ¯

On a enn, [2] corollaire 4.2,

τ (ψS χ) wS (f ⊗ χ) = ψ¯S¯ (mχ )χ(−1) τ (χ) ¯ si

vp (mχ ) = vp (N )

et

vp (mχψ ) < vp (mχ ).

2.8 Invariants locaux des tordues de formes modulaires, cas supercuspidal

Reprenons la situation laissée en 2.6 en supposant

ap = 0.

On a

vp (Nχ ) = max(vp (m2χ ), vp (mψ mχ ), vp (N )) Posons au préalable, pour tout caractère de Dirichlet primitif

ω(p) 6= 0

0 et mω

= pmω

si

ω(p) = 0

vp (mχ ) ≥ vp (N ).

wS (f ⊗ χ) = wS (f )

si

On a, [2] théorème 4.1,

wS (f ⊗ χ) = ψ¯S¯ (mχ )χ(−1) si

ω m0ω = mω

τ (ψS χ) τ (χ) ¯

On a enn, [2] théorème 4.5,

ψS¯ (NS /mχ )χ(−1)ψS (−1) 1 X τ (ω)τ (χψS ω)wf ⊗ψ¯S ω¯ . 00 /N )φ(N /m ) (Nχ,S τ (χ) ¯ ω S S χ

00 vp (mχ ) < vp (N ), où Nχ,S = max(NS , NS mψ /mχ , NS2 /m2χ ) et où ω parcourt 0 00 les caractères de Dirichlet tels que mω = NS /mχ et mχψS ω = Nχ,S mχ /NS . En particulier, lorsque vp (mχ ) > vp (N )/2, wS (f ⊗ χ) se déduit de la collection 2 des wS (f ⊗ ω), pour ω caractère vériant mω |NS ; en particulier, lorsque vp (mχ ) > vp (N )/2, wS (f ⊗ χ) se déduit de la collection des wS (f ⊗ ω) pour Nω,S = NS . si

12

Loïc Merel

2.9 Invariants locaux des tordues de formes primitives par torsion, conclusion

p-primitive par torsion pour p). La donnée de ap (f ) et de wS (f ⊗ω) (p ∈ ΣN , S ⊂ ΣN , et ω caractère primitif tel que Nω = N et ar (f ) = 0 (r ∈ S et r|mχ )) détermine Nχ , ap (f ⊗ χ), wS (f ⊗ χ) (p ∈ ΣN , S ⊂ ΣN ). Supposons

f

primitive par torsion (c'est-à-dire

tout nombre premier

3 Le théorème 1 et ses corollaires 3.1 La démonstration du théorème 1

 g =

Soit égale à

a b c d

 ∈ SL2 (Z)

telle que la classe modulo

modulaire pour le groupe de congruence

|g

de

(c, d)

soit

(u, v).

On peut comprendre notre démarche ainsi. La fonction

f 

N

N 0

0 1



Γ (N ),

f|g

est une forme

si bien que la fonction

est modulaire pour le groupe de congruence

Γ1 (N ) ∩ Γ0 (N 2 ).

Cette dernière forme modulaire s'écrit donc comme combinaison linéaire de fonctions du type

F |

M

divisant

N2

et

d

d 0

0 1

,

où

F

parcourt les formes primitives de niveau

les entiers divisant

N 2 /M .

Nous allons montrer que les

formes primitives qui interviennent dans cette écriture sont de la forme où

χ

parcourt les caractères de Dirichlet de niveau divisant

N

f ⊗ χ,

et donner ex-

plicitement les coecients de cette combinaison linéaire.

R∞ ξf (u, v) = 0 f|g (iy) dy . Lorsque, de plus, s = 1 et h est une matrice diagonale de PGL2 (Q)+ , et χ est un caractère de Dirichlet de conducteur divisant N , on a Z ∞ 1 1 L(f ⊗ χ, 1) = p Λ(f ⊗ χ, 1). (f ⊗ χ)|h (iy)d y = 2π Nχ 0 Lorsque

k = 2,

on a

C'est pourquoi le théorème 1 se déduit de la proposition 1 suivante, par intégration de chaque membre de l'égalité ci-dessous le long de la géodésique reliant

0

à

∞

dans le demi-plan de Poincaré.

Remarquons que la proposition 1 permet de démontrer des analogues du théorème 1 pour les formes modulaires de poids thèse de F. Martin lorsque

k=1

6= 2.

(Voir par exemple la

[13].)

Proposition 1. On a

f|g =

w(f ) X χ ¯ (mχ,S )(ψ¯S χ ¯S )(mψχ,S¯ )(ψS χS )(−1)τ 0 (χS )τ 0 (ψ¯S¯ χ ¯S¯ ) φ(N 0 ) χ S

Symboles de Manin et valeurs de fonctions L

(ψ¯S¯ χ ¯2S¯ )(Nχ,S )wS (f ⊗ χ)(ψ¯χ)( ¯ Σ

0 −S(mχ ) χ ))∩Σf 0 NS ¯

[ (S(N 0N )−S(m

(f ⊗ χ)

|

N , (S(N 0 )−S(m ¯ ¯

χ

¯ ))∩Σf

ψχ ¯ !

0

Nχ,S NS¯ mψχ,S¯

]

,

(∗∗)

0 NS NS mχ,S ¯

0 où

NS0¯ v N0 u )χ( S ) NS¯ NS

¯ ) 0 −S(m ¯χ ψ ¯

Σ

mχ,S mψχ,S¯ |N 0   p 0 Qp,f,χψ . 0 1

parcourt les caractères de Dirichlet primitifs tel que



Y

∗∗ =

Qp,f,χ¯

p∈S(N 0 )

1 0

0 p

13



Y ¯ 0) p∈S(N

et où



 A B ∈ M2 (Z) telle que NS NS0 |A, NS NS0 |D, C D N N 0 |C , NS¯ NS0¯ |B , AD − BC = NS NS0 , A ≡ uNS0 (mod NS¯ ) et B ≡ v/NS¯ (mod NS ). Soit k ∈ Z tel que n ≡ uv (mod NS¯ ) et n ≡ −uv (mod NS ). Démonstration.- Considérons

Notre point de départ réside dans l'identité

 Γ1 (N )g = Γ1 (N )

−1 0

0 N



1 n/N 0 1



A C

B D



que le lecteur vériera grâce au lemme chinois. Comme

N NS0 0

0 NS

w(f )f¯ = f  |

−1 ,

0 −N

1 0

,

on a la formule

f|g = w(f )f¯ |

1 n/N 0 1



A C

B D



N NS0 0

0 NS

−1 ,

et donc, d'après la formule 5,

f|g = w(f )

Σ 0 −Σmω N X ω(n0 ) ] [Σ 0 , ∩Σf ¯ ⊗ ω) N (ΣN0 −Σmω )  τ (¯ ω )( f 0 Q φ(N ) p 0 A ω | Pp ( ) p 0 1 C

B D



N NS0 0

0 NS

−1 (6)

où

ω

N 0,

parcourt les caractères de Dirichlet primitifs de conducteur

mω

divisant

N 0. 0 ¯ ¯ 2 Appliquons les formules de 2.2 à F = f ⊗ ω : on a M = Nω , ψ = ψω 0 2 ¯ ¯ ¯ ¯ F ⊗ ψS = f ⊗ ωψS ω ¯ S = f ⊗ ψS ω ¯ S ωS¯ = f ⊗ ψS¯ ω ¯ S ωS¯ . Soit p ∈ ΣN . Soit r un entier ≥ 0. On a le produit portant sur les nombres premiers divisant

(f¯ ⊗ ω)  |

si

p∈S

et

pr 0

0 1



A C

B D

 = (f¯ ⊗ ω)  |

pr A B C D/pr



1 0 0 pr



et

14

Loïc Merel

(f¯ ⊗ ω)  |

si

p ∈ S¯.

pr 0

0 1



A C

B D

 = (f¯ ⊗ ω)  |

pr B D

A C/pr

|

pr A B C D/pr

|

pr |(NS NS0 /Nω,S )

(f¯ ⊗ ω)  |

pr B D

A C/pr

(f¯ ⊗ ω)  |P

pr |(NS¯ NS0¯ /Nω,S¯ ). p 0 0 1



A C

B D

Soit

P ∈ C[X].

NS NS0 /Nω¯ ,S 0

(f¯ ⊗ ω)  |P

P

p 0 0 1

de degré



A C



B D

≤ vp (NS NS0 /Nω,S )

P

de degré

≤

1 0 0 p

0 S NS Nω,S ¯

N )

0



p 0 0 1

0 S NS Nω,S ¯

N )

0

vp (NS¯ NS0¯ /Nω,S¯ ).

On en déduit que

[{p},∅]

(f¯ ⊗ ω)  |

A C

B D

0 1

.

 = (ψS ω ¯ S2¯ )(A/(NS NS0 ))wS (f¯ ⊗ ω) ¯ S2 )(B)(ψS¯ ω

2 )(p) |P ((ψS ω ¯S

et



et on a

(f¯ ⊗ ωS¯ ω ¯ S ψS ) p ∈ S¯

0 1

 = (ψS ω ¯ S2¯ )(A/(NS NS0 ))wS (f¯ ⊗ ω) ¯ S2 )(B)(ψS¯ ω

2 )(p) |P ((ψS¯ ω ¯S ¯

et



On a alors

(f¯ ⊗ ωS¯ ω ¯ S ψS )

p∈S

0 1

 = (ψS ω ¯ S2 )(pr B)(ψS¯ ω ¯ S2¯ )(A/(NS NS0 ))

|

lorsque

NS NS0 /Nω¯ ,S 0

et

wS (f¯ ⊗ ω)(f¯ ⊗ ωS¯ ω ¯ S ψS ) 

si



0 1

 = (ψS ω ¯ S2 )(B)(ψS¯ ω ¯ S2¯ )(pr A/(NS NS0 )) wS (f¯ ⊗ ω)(f¯ ⊗ ωS¯ ω ¯ S ψS ) 

si

pr 0

On a de plus les formules

(f¯ ⊗ ω) 

lorsque



 = (ψS ω ¯ S2 )(B)(ψS¯ ω ¯ S2¯ )(A/(NS NS0 )) [∅,{p}] wS (f¯ ⊗ ω)(f¯ ⊗ ωS¯ ω ¯ S ψS )  NS NS0 /Nω¯ ,S | 0

0 1



0 1

.

Symboles de Manin et valeurs de fonctions L si et

p∈S

et

(f¯ ⊗ ω)[{p},∅] |



A C

B D



= (ψS ω ¯ S2 )(B)(ψS¯ ω ¯ S2¯ )(A/(NS NS0 )) [{p},∅] ¯ S ψS )  wS (f¯ ⊗ ω)(f¯ ⊗ ωS¯ ω NS NS0 /Nω¯ ,S | 0

si

p ∈ S¯.

15

0 1



Un calcul analogue donne les formules

[∅,{p}]

(f¯ ⊗ ω)  |

A C

B D

 = (ψS ω ¯ S2 )(B)(ψS¯ ω ¯ S2¯ )(A/(NS NS0 )) [{p},∅]

wS (f¯ ⊗ ω)(f¯ ⊗ ωS¯ ω ¯ S ψS )  |

si et

p∈S

NS NS0 /Nω¯ ,S 0

0 1

et

(f¯ ⊗ ω)[∅,{p}] |



A C

B D



¯ S2¯ )(A/(NS NS0 )) = (ψS ω ¯ S2 )(B)(ψS¯ ω [∅,{p}] wS (f¯ ⊗ ω)(f¯ ⊗ ωS¯ ω ¯ S ψS )  NS NS0 /Nω¯ ,S | 0

si



0 1



p ∈ S¯. Dans les quatre formules qui précèdent, on peut remplacer, partout où il

intervient, le symbole

{p}

{p} {p}∩Σf .

par

0

C(X), Qp,f,ω (X) = X −vp (N /mχ ) Pp (X). On   Y   1 0 p 0 2 2 Pp ((ψS¯ ω ¯ S¯ )(p) ) Pp ((ψS ω ¯ S )(p) )= 0 p 0 1 0

Remarquons qu'on a, dans

Y p∈S(N 0 )

¯ p∈S(N )

¯ S2¯ )(NS0 /mω,S )(ψS ω ¯ S2 )(NS0¯ /mω,S¯ ) (ψS¯ ω Y

Qp,f,ω ((ψS¯ ω ¯ S2¯ )(p)



p∈S(N 0 )

 1 0 ) 0 p

Y ¯ 0) p∈S(N

NS0¯ /mω,S 0

 0 NS0 /mω,S¯   p 0 Qp,f,ω ((ψS ω ¯ S2 )(p) ). 0 1



Revenons à la formule 6. On a

[ΣN 0 , (Σ

(f¯ ⊗ ω)

|

Σ 0 −Σmω N −Σm ) ∩Σf N0 ω

 Q p

Pp (

p 0 0 1

(ψS ω ¯ S2 )(

 )

]

A C

B D



N NS0 0

NS0¯ B A )(ψS¯ ω ¯ S2¯ )( ) mω,S¯ NS mω,S

0 NS

−1 =

a

16

Loïc Merel Σ

0 −S(mχ ) χ ))∩Σf 0 NS ¯

[ (S(N 0N )−S(m

wS (f¯ ⊗ ω)(f¯ ⊗ ωS¯ ω ¯ S ψS )

|

Σ

¯ ) 0 −S(m ¯χ ψ ¯

N , (S(N 0 )−S(m ¯ ¯

0

Nω,S NS¯ mω,S¯ ¯

]

,

(7)

(∗∗)

0 NS NS mω,S

0

¯ ))∩Σf

!ψχ¯

où

Y

∗∗ =

Qp,f,ω ((ψS¯ ω ¯ S2¯ )(p)



p∈S(N 0 )

 1 0 ) 0 p

Y

Qp,f,ω ((ψS ω ¯ S2 )(p)



¯ 0) p∈S(N

 p 0 ) 0 1

Par ailleurs, on a les formules

(ψS ω ¯ S2 )(NS0¯ B) = (ψS ω ¯ S2 )(NS0¯ v/NS¯ ), (ψS¯ ω ¯ S2¯ )(A/NS ) = (ψS¯ ω ¯ S2¯ )(uNS0 /NS ) et

ω(n0 ) = ω(nN 0 /N ) = ωS (nN 0 /N )ωS¯ (nN 0 /N ) = ωS (−uvN 0 /N )ωS¯ (uvN 0 /N ) et donc

ω(n0 ) = ωS (−1)ω(uNS0 /NS )ω(vNS0¯ /NS¯ ). On a donc la simplication

¯ S2¯ )( ω(n0 )(ψS ω ¯ S2 )(NS0¯ B)(ψS¯ ω

N 0¯ v N0 u A ¯ S¯ ωS ( S ). ) = ωS (−1)ψS ω ¯ S ωS¯ ( S )ψS¯ ω NS NS¯ NS

De plus on a

¯ S2¯ )(p) Qp,f,ω ((ψS¯ ω si

p∈S

   1 0 1 0 ) = Qp,f,¯ωS¯ ωS ψS¯ ( ) 0 p 0 p



   p 0 p 0 ) = Qp,f,ωS¯ ω¯ S ψS ( ) 0 1 0 1

et

Qp,f,ω ((ψS ω ¯ S2 )(p) si



p ∈ S¯. En combinant avec la formule 7, on obtient

f|g =

NS0¯ v N0 u w(f ) X ¯ 2 2 ¯ ω )(m )( ψ ω )(m )(ψ ω ¯ ω )( )(ψS¯ ω ¯ S¯ ωS )( S ) ( ψ ¯ ¯ ¯ ¯ ω,S S S S S S S S ω,S 0 φ(N ) ω NS¯ NS Σ

0 −S(mχ ) χ ))∩Σf 0 NS ¯

[ (S(N 0N )−S(m

τ (¯ ω )ωS (−1)wS (f¯ ⊗ ω)(f¯ ⊗ ωS¯ ω ¯ S ψS )

|

Nω,S NS¯ mω,S¯ ¯

0 où

N0

ω

et où

Σ

¯ ) 0 −S(m ¯χ ψ ¯

N , (S(N 0 )−S(m ¯ ¯

0 0 NS NS mω,S

¯ ))∩Σf

!ψχ¯

]

,

(8)

(∗∗)

parcourt les caractères de Dirichlet primitifs de conducteur divisant

Symboles de Manin et valeurs de fonctions L



Y

∗∗ =

Qp,f,¯ωS¯ ωS ψS¯

p∈S(N 0 )

1 0 0 p





Y

Qp,f,ωS¯ ω¯ S ψS

¯ 0) p∈S(N

p 0 0 1

17

 .

Simplions encore cette formule. On a la relation entre sommes de Gauss

τ (¯ ω) = ω ¯ S (mω¯ ,S¯ )¯ ωS¯ (mω¯ ,S )τ (¯ ωS )τ (¯ ωS¯ ). Cela donne

τ (¯ ω )(ψ¯S¯ ωS2¯ )(mω,S )(ψ¯S ωS2 )(mω,S¯ ) = τ (¯ ωS )τ (¯ ωS¯ )(ψ¯S¯ ωS¯ )(mω,S )(ψ¯S ωS )(mω,S¯ ). χ le caractère de Dirichlet primitif associé à ωS¯ ω ¯ S ψ¯S¯ . ¯ ¯ ¯ On a donc χS = ω ¯ S et χS¯ = ωS¯ ψS¯ , S(mω ) = S(mχ ), S(mω ) = S(mψχ ), Nω¯ ,S = Nχ,S et ωS (−1) = χS (−1). Récrivons 8 en notant

On obtient

f|g =

w(f ) X 0 τ (χS )τ 0 (ψ¯S¯ χ ¯S¯ )χS (−1)χS¯ )χS¯ (mχ,S )(ψ¯S χ ¯S )(mψχ,S¯ ) φ(N 0 ) χ Σ

Σ

0 −S(mχ )

N0

¯ −S(m ¯χ ψ ¯)

[ (S(N 0N , ¯ 0 )−S(m ] ¯ NS0¯ v )−S(mχ ))∩Σf (S(N ))∩Σf N0 u ¯χ ψ ¯ 0 )χ( S )wS (f ⊗ ψ¯S χ , (ψ¯χ)( ¯ ¯S χS¯ )(f ⊗χ) ! NS ¯ NS¯ NS 0 |

Nχ,S NS¯ mψχ,S¯

0 NS NS mχ,S ¯

0

(∗∗) (9)

où

χ

parcourt les caractères de Dirichlet primitifs de conducteur divisant

et où

∗∗ =

Y

 Qp,f,χ¯

p∈S(N 0 ) Appliquons la relation 1 pour

1 0 0 p



Y

 Qp,f,χψ

¯ 0) p∈S(N

F =f ⊗χ

(et donc

N0

 p 0 . 0 1

ψ 0 = ψχ2 ).

On obtient

wS (f ⊗ χ)wS (f ⊗ ψ¯S χ ¯S χS¯ ) = ψS (−1)(ψ¯S¯ χ ¯2S¯ )(Nχ,S ). Cela permet de substituer

wS (f ⊗ ψ¯S χ ¯S χS¯ ) dans 9 pour obtenir la proposition

1.

3.2 Réciproque du corollaire 1 et observations algorithmiques sur les aspects locaux

Le lecteur vériera sans peine que les termes qui apparaissent dans la formule du théorème 1 se déduisent des invariants dont la liste est donnée dans le corollaire 1. Nous nous proposons dans cette section d'étudier la réciproque : comment la fonction

ξf

permet de retrouver les données

(i), (ii), (iii), (iv)

et

(v). La ξf est

procédure à suivre pour cette étude nous paraît plus agréable lorsque primitive par torsion.

18

Loïc Merel

a. Les invariants de

f

en termes de la fonction

ξf

On obtient le caractère de nebentypus ψ de f grâce à la formule ξf (λu, λv) = ∗ ¯ ψ(λ)ξ f (u, v) (u, v ∈ (Z/N Z), λ ∈ (Z/N Z) . On peut déterminer ap ξf (et donc Lp (f, p−s )) et ξWS f lorsque p est un nombre premier et S un sous-ensemble de ΣN grâce aux formules données dans [15], théorèmes 2 et 5.

f

b. Torsion de

Supposons

f

par des caractères

ω

tels que

N = Nω

primitive par torsion.

ω

Proposition 2. Soit

N = Nω ap (f ) = 0. Soit cyclique C d'ordre

un caractère de Dirichlet primitif tel que

et tel que pour tout nombre premier

p

divisant

mω

on a

(u, v) ∈ (Z/N Z)2 d'ordre N . Choisissons un sous-groupe mω de (Z/N Z)2 tel que C ∩ Z(u, v) = {0}. On a alors X 1 ω((yu − xv)m/N )ξf (x, y). w(f )w(f¯ ⊗ ω ¯ )ξf ⊗ω (u, v) = τ (ω) (x,y)∈(u,v)+C

Démonstration.- Puisque

tout nombre premier

p

f

est primitive par torsion, et que

divisant

mω ,

on a

f ⊗ω ¯ = fω¯ .

ap (f ) = 0

pour

Appliquons la section

2.3,

m−1 1 1 X . Sω¯ f = ω(t)f  1 t/m τ (ω) τ (ω) t=0 |( 0 1 Nω = N ,

f ⊗ω ¯ = fω¯ = On a donc, puisque

w(f )w(f¯ ⊗ ω ¯ )f ⊗ ω =

=  Soit

a b c d

m−1 1 X ω(t)f  0 τ (ω) t=0 |( N m−1 1 X ω(t)f  τ (ω) t=0 |

−1 0



1 −tN/m

(

0 1

1 t/m 0 1



0 N

−1 0



.

 ∈ SL2 (Z)

w(f )w(f¯ ⊗ ω ¯ )f ⊗ ω  |

telle que

a b c d

=

(c, d) ∈ (u, v).

m−1 1 X ω(t)f  τ (ω) t=0 |

On a

1 0 −tN/m 1



a b c d

.

Cela se traduit par la formule :

w(f )w(f¯ ⊗ ω ¯ )ξf ⊗ω (u, v) =

m−1 1 X ω(t)ξf (c − atN/m, d − btN/m). τ (ω) t=0

(x, y) = (c − atN/m, d − btN/m) dans (Z/N Z)2 . On a alors la relation xv − yu = −tN/m. Lorsque t décrit les entiers de 0 à m − 1, (atN/m, btN/m) décrit bien un sous-groupe C comme indiqué dans l'énoncé de la proposition.

Posons

Symboles de Manin et valeurs de fonctions L c. Les invariants locaux des tordues de que

f

par des caractères

19

χ

tels

Nω = N ω

Nω = N et tel que pour tout ap (f ) = 0. Supposons f primitive par torsion. L'étape b. permet de connaître la fonction ξf ⊗ω à multiplication −s par un scalaire près. Cela permet de déterminer le facteur Lp (f ⊗ χ, p ) et wS (f ⊗ χ) pour p ∈ ΣN et S ⊂ ΣN grâce encore à [15], théorèmes 2 et 5. Soit

un caractère de Dirichlet tel que

nombre premier

p

divisant

mω

on a

d. Les invariants locaux des tordues de

f ⊗χ

pour

χ

caractère

quelconque

f primitive par torsion. Les invariants locaux de f ⊗ χ, χ caractère quelconque, se déduisent des invariants locaux de f ⊗ ω pour ω parcourant les caractères tels que Nω = N , d'après la conclusion 2.9 des Supposons encore

pour

sections 2.6, 2.7 et 2.8.

e. Les nombres

Λ(f ⊗ χ, 1)

Supposons encore

f

pour

χ

caractère de niveau divisant

N

primitive par torsion. Après l'étape d, tous les termes

qui interviennent dans la formule du théorème 1 sont déterminés, excepté les valeurs

Λ(f ⊗ χ, 1)

pour

χ

caractère de niveau divisant

N.

Ces derniers

nombres sont eux aussi déterminés par le théorème 1, il sut de s'assurer qu'ils interviennent au moins une fois précédés d'un coecient non nul. C'est bien le cas, si on choisit

f. Que faire lorsque

f

u

et

v

tels que

N 0 = mχ .

n'est pas primitive par torsion ?

Indiquons succinctement comment on peut ramener le cas général (i.e. n'est pas primitive par torsion) au cas où

f

f

est primitive par torsion. Pour

χ0 est tel que Nχ0 soit minimal, puis ξf ⊗χ0 : (Z/Nχ0 Z)2 → C. Pour cela on peut χ de niveau divisant N et les formes modu-

cela il faut déterminer quel caractère déterminer

Nχ0

et la fonction

considérer tous les caractères laires

fχ

qui sont propres pour presque tous les opérateurs de Hecke d'indice

premiers. On peut déterminer les symboles de Manin associés à Le problème revient, alors à la question suivante. Soit

F

fχ .

une forme modu-

laire propre pour presque tout opérateur de Hecke d'indice premier de forme primitive associée

F0 .

Étant donné

ξF ,

comment trouver

F0 ?

C'est possible

si on connaît l'action des morphismes de dégénérescence sur les symboles de Manin. Les formules dans ce sens sont données dans [15], proposition 15, 16 et 17. Cette manipulation est moins agréable que celles que nous avons faites lorsque

f

est primitive par torsion.

20

Loïc Merel

3.3 Équations fonctionnelles et relations de Manin

Dans [10], Manin décrit deux familles d'équations fonctionnelles satisfaites par

ξf

(dites relations de Manin) :

ξf (u, v) + ξf (−v, u) = 0

(10)

ξf (u, v) + ξf (v, −u − v) + ξ(−u − v, u) = 0

(11)

et

((u, v)

2

∈ (Z/N Z)

). Observons comment se traduit la relation 10 en utilisant

la formule du théorème 1. Pour cela remarquons que le théorème 1 a la forme suivante :

ξf (u, v) =

X

¯S¯ χ cχ,S cψ¯χ, ¯2S¯ )(Nχ,S )wS (f ⊗ χ) ¯ χS (−1)(ψ ¯S

χ Σ

Λ

0 −S(mχ ) χ ))∩Σf

[ (S(N 0N )−S(m

Σ

¯ ) 0 −S(m ¯χ ψ ¯

N , (S(N 0 )−S(m ¯ ¯

))∩Σf ¯χ ψ ¯

]

(f ⊗ χ, 1)(ψ¯χ)( ¯

NS0¯ v N0 u )χ( S ), NS¯ NS

χ parcourt les caractères de Dirichlet primitifs tels que mχ,S mψχ,S¯ |N 0 et 0 où cχ,S et cψ ¯χ, ¯ dépendent de f , χ, N et S mais pas de (u, v) et sont échangés ¯S ¯ ¯ par (χ, S) 7→ (χ ¯ψ, S). On peut appliquer le théorème 1 à ξ(u, v) et ξ(−v, u). L'identité 10 se traduit alors par une identication des χ-èmes termes pour chaque caractère χ. ¯ et des termes correspondant à Après échanges simultanés de u et −v , de S et S ¯ χ et ψ χ ¯ on retrouve alors l'équation fonctionnelle de la fonction s 7→ Λ(f ⊗χ, s) en s = 1. Après vérication de la non nullité de susamment de coecients où

(comme dans la section 3.2 étape e), on peut même établir qu'il y a équivalence entre la relation 10 et la totalité des équations fonctionnelle des

s=1 N.

pour

χ

Λ(f ⊗ χ, s) en

parcourant les caractères de Dirichlet de conducteurs divisant

On peut se demander, en ayant à l'esprit les théorèmes inverses, comment interpréter la relation 11 en termes de fonctions

L.

Nous n'avons de réponse

satisfaisante à cette question. Nous pouvons tout juste rappeler que les relations 10 et 11 sont équivalentes à 10 et

ξf (u, v) − ξf (v, u + v) − ξ(u + v, v) = 0 ((u, v)

∈ (Z/N Z)2 ).

(12)

La famille de relations 12 a été mise en évidence par

Lewis [7].

4 Produit de formes modulaires 4.1 Le produit scalaire de Petersson

Soit

Γ

SL2 (Z). Soient f1 et f2 deux formes 2 pour Γ . Rappelons que le produit scalaire

un sous-groupe d'indice ni de

modulaires paraboliques de poids de Petersson de

f1

et

f2

est donné par la formule :

Symboles de Manin et valeurs de fonctions L

< f1 , f2 >= où

DΓ

f1 (z)f 2 (z)dx dy, DΓ

 Γ dans le demi-plan de Poincaré H. 0 −1 2iπ/3 et σ = . Posons de plus ρ = e ∈ H. Soit 1 0 représentants de Γ \SL2 (Z).

est un domaine fondamental pour

 τ=

Posons

R

1 [SL2 (Z) : Γ ]

21

Z



0 −1 1 −1

un système de



Théorème 2. On a

Z gρ X Z g∞ 1 f1 (z) dz f2 (z) dz, < f1 , f2 >= 2i[SL2 (Z) : Γ ] g0 gi g∈R

et

−i 12[SL2 (Z) : Γ ]

XZ

gτ ∞

< f1 , f2 >= Z g∞ Z f1 (z) dz f2 (z) dz−

gτ 0

g∈R

g0

g∞

Z

gτ ∞

f1 (z) dz

g0

f2 (z) dz. gτ 0

ω1 = f1 (z) dz et ω2 = f2 (z) dz . Pour g dans SL2 (Z), ωj |g = fj |g dz (j ∈ {1, 2}). Considérons le domaine fondamental D0 pour SL2 (Z) constitué par le triangle hyperbolique de sommets ∞, 0 et ρ. On

Démonstration.- Posons

posons

a

< f1 , f2 >=

1 2i[SL2 (Z) : Γ ]

Fg (z) =

Posons

Rz ρ

Z ω1 ∧ ω2 = DΓ

f2 |g (u) du.

XZ 1 ω1|g ∧ ω2|g . 2i[SL2 (Z) : Γ ] D0 g∈R

On a

df1 |g Fg (z) dz = ω1 ∧ ω2 .

Cela donne, par

la formule de Stokes,

2i[SL2 (Z) : Γ ] < f1 , f2 > =

XZ g∈R

=

XZ g∈R

Utilisons que

σ

est d'ordre

2

f1 |g Fg (z) dz

∂D0 0

Z f1 |g Fg (z) dz +

∞

dans

ρ

f1 |g Fg (z).

0

PSL2 (Z)

ρ

Z f1 |g Fg (z) +

et qu'on a

0

τρ = ρ

et

τ ∞ = 0.

Cela donne

1 2

XZ g∈R

Z 0 f1 |g Fg (z) dz+

∞

Utilisons la relation

2i[SL2 (Z) : Γ ] < f1 , f2 >= Z 0 XZ ρ f1 |gσ Fgσ (z) dz+ f1 |g Fg (z) dz+

∞

Fgh (hz) =

g∈R

Rz

h−1 ρ

f2 |g (u) du.

∞

∞

f1 |gτ Fgτ (z) dz.

ρ

On obtient

Z Z ρ Z ∞ Z ρ 1X 0 2i[SL2 (Z) : Γ ] < f1 , f2 >= ω1|g ω2|g + ω1|gτ ω2|g . 2 ∞ σρ ρ τ 2ρ g∈R

22

Loïc Merel

Le dernier terme est nul. Décomposons le deuxième facteur du premier terme. On a

Z Z σi Z ρ 1X ∞ ω1|g ( ω2|g + ω2|g ). 2i[SL2 (Z) : Γ ] < f1 , f2 >= 2 0 σρ σi g∈R

σi = i,

Comme

et comme

R∞

0 première formule du théorème.

R σi R∞ Rρ ω1|g ( σρ ω2|g ) = 0 ω1|gσ ( i ω2|gσ ),

on a la

Démontrons maintenant la deuxième formule. On a

2i[SL2 (Z) : Γ ] < f1 , f2 >=

XZ g∈R

∞

Z

Z

∞

ω2|g −

ω1|g

0

∞

i

Z ω1|g

0

∞

ω2|g . ρ

Calculons séparément les deux séries de termes. On a

XZ g∈R

∞

Z

∞

ω1|g

0

ω2|g = i

g∈R

σ∞ = 0, XZ

et comme

g∈R

Z Z ∞ Z ∞ Z ∞ 1X ∞ ω1|g ω2|g + ω1|gσ ω2|gσ , 2 0 i 0 i

∞

∞

Z ω1|g

0

Z Z ∞ 1X ∞ ω2|g . ω1|g 2 0 0

ω2|g = i

g∈R

Par ailleurs, on a

Z

∞

Z ω1|g

0

∞

ω2|g = ρ

Z Z ∞ Z ∞ Z ∞ Z ∞ Z ∞ 1X ∞ ω2|g + ω2|gτ + ω2|gτ 2 . ω1|g ω1|gτ ω1|gτ 2 3 0 0 ρ ρ ρ g∈R 0 R∞ R∞ R∞ Remarquons qu'on a ω1|g + 0 ω1|gτ + 0 ω1|gτ 2 = 0. C'est pourquoi on 0 a Z ∞ Z ∞ ω2|g = ω1|g 0

ρ

Z Z ∞ Z ∞ Z ∞ Z ∞ Z ∞ 1X ∞ ω1|gτ ( ω2|gτ − ω2|g ) + ω2|gτ 2 − ω2|g ). ω1|gτ 2 ( 3 ρ ρ 0 ρ ρ g∈R 0 R∞ R∞ R∞ R∞ R∞ ω2|gτ − ρ ω2|g ) = − 0 ω2|g et comme ρ ω2|gτ 2 − ρ ω2|g = Comme ( ρ R∞ R∞ ω2|gτ 2 , on obtient, en posant λj (g) = 0 ωj (j ∈ {1, 2}), 0 Z

∞

Z ω1|g

0

ρ

ω2|g = i

1X 1X 1X λ1 (g)λ2 (g) + λ1 (gτ )λ2 (g) − λ1 (gτ )λ2 (g) 2 3 3 g∈R

g∈R

1X 1X = λ1 (g)λ2 (g) + λ1 (gτ )λ2 (g). 6 3 g∈R

g∈R

g∈R

Symboles de Manin et valeurs de fonctions L En utilisant la relation

∞

Z

λ1 (g) + λ1 (gτ ) + λ1 (gτ 2 ) = 0,

ρ

Z ω1|g

ω2|g =

0

i

23

on obtient nalement

1X 1X λ1 (gτ )λ2 (g) − λ1 (gτ )λ2 (gτ 2 ). 6 6 g∈R

g∈R

Cela achève la démonstration. Corollaire 4. Supposons qu'on ait

Γ = Γ1 (N ),

on a

< f1 , f2 >= i 12[SL2 (Z) : Γ1 (N )]

X

ξf1 (v, −u−v)ξf2 (u, v)−ξf1 (u, v)ξf2 (v, −u − v).

(u,v)∈(Z/N Z)2

Démonstration.- C'est une application directe de la deuxième formule du théo-

rème 2, en tenant compte de la formule (j

Z

∈ {1, 2})

g∞

ξfj (u, v) = −i

fj (z) dz, g0

 où

g=

a b c d

 ∈ SL2 (Z)

4.2 La fonction

L

vérie

(c, d) ∈ (u, v).

du carré tensoriel

Supposons la forme modulaire niveau

N

f

de caractère de nebentypus trivial et de

premier. Considérons la série de Dirichlet

L(f ⊗ f, s) =

∞ X a2n . ns n=1

Elle admet un prolongement méromorphe au plan complexe, avec un pôle simple en

s=2

et on a [16] (notre normalisation pour le produit scalaire de

Petersson est en rapport

π/3 = vol(SL2 (Z)\H)

avec celle de [16])

Ress=2 L(f ⊗ f, s) = 12π < f, f > . Théorème 3. On a

Ress=2 L(f ⊗ f, s) =

où

χ

et

tels que

2πi (N + 1)(N − 1)2

χ0 parcourent les χχ0 soit impair.

X χ,χ0 ,χχ0 (−1)=−1

Λ(f ⊗ χ0 , 1)Λ(f ⊗ χ, 1) , τ (χχ0 )

caractères de Dirichlet primitifs de conducteur

N

24

Loïc Merel

Démonstration.- Partons de la formule donnée dans le corollaire 4. On a,

puisque

N

< f, f >=

est premier,

i

X

12(N 2 − 1)

et donc

ξf (v, −u−v)ξf (u, v)−ξf (u, v)ξf (v, −u − v).

(u,v)∈(Z/N Z)2

Venons-en à la fonction

ξf est {∞},

[SL2 (Z) : Γ1 (N )] = (N 2 − 1)

ξf .

f est trivial, la fonction u/v ∈ P1 (Z/N Z) = Z/N Z ∪

Puisque le nebentypus de

homogène. C'est pourquoi on pose, pour

ξf (u/v) = ξf (u, v). Cela permet d'écrire

< f, f >=

i 12(N + 1)

X

ξf (−

x∈P1 (Z/N Z)

Utilisons la relation de Manin

1 1 )ξf (x) − ξf (x)ξf (− ). x+1 x+1

ξf (x) + ξf (−1/x) = 0 (x ∈ P1 (Z/N Z)).

On

obtient

< f, f >=

i 12(N + 1)

Le terme correspondant à

X

ξf (x)ξf (x + 1) − ξf (x + 1)ξf (x).

x∈P1 (Z/N Z)

x = ∞

est nul dans la somme qui précède. Par

ξf (1/0) + ξf (0/1) = 0 ξf (−1) = 0 et ξf (1) = 0. C'est pourquoi on a également la nullité des termes correspondant à x = 0 et x = −1. On a donc, si on ne conserve que les termes correspondant à x 6= 0, x 6= 1 et x 6= ∞ et si on change de plus x en −x,

application des relations de Manin, on a les relations et

ξf (1/0) + ξf (0/1) + ξf (−1/1) = 0.

< f, f >=

i 12(N + 1)

On en déduit

X

ξf (−x)ξf (1 − x) − ξf (1 − x)ξf (−x).

x∈(Z/N Z)∗ −{1}

Comme N est premier, rendons plus explicite le théorème 1. On a, pour x ∈ (Z/N Z)∗ , N 0 = N et on peut choisir S = ∅ et S¯ = {N }. Le terme associé au caractère χ dans la formule du théorème 1 est nul lorsque χ = 1, car N {N } {N }

Λ[ ∅ , {N } ] (f, 1) est multiple de (1 − aN )Λ(f, 1) qui est nul (en eet aN = −w(f ) et Λ(f, 1) = 0 si w(f ) 6= −1). Lorsque χ est non trivial, le terme associé à χ se simplie car on a χS = 1, Qp,f,χ = 1, Nχ = N 2 , Lp (f ⊗ χ, X) = 1. On obtient, pour x ∈ Z/N Z∗ , est spécial pour

f

et on a que

ξf (x) =

¯ w(f ) X τ (χ) χ(x)Λ(f ⊗ χ, 1) N −1 N χ6=1

où la somme porte sur les caractères de Dirichlet primitifs de conducteur Comme

f

est de nebentypus trivial, on a

N.

Symboles de Manin et valeurs de fonctions L

25

Λ(f ⊗ χ, 1) = Λ(f ⊗ χ, ¯ 1). On en déduit, en utilisant que

|w(f )| = 1, < f, f >=

i 12(N + 1)(N − 1)2 N 2 où

X

τ (χ)τ ¯ (χ ¯0 )Λ(f ⊗χ, 1)Λ(f ⊗χ ¯0 , 1))F (χ, χ0 ),

x∈(Z/N Z)∗ −{1} χ,χ0

X

F (χ, χ0 ) =

X

(χ(−x)χ ¯0 (1 − x) − χ(1 − x)χ ¯0 (−x)).

x∈(Z/N Z)∗ −{1}

χ0 en χ ¯0 dans = χ (−1)τ (χ ¯0 ),

Changeons

τ (χ0 )

la somme. On obtient, en tenant compte de l'égalité

0

< f, f >= X i τ (χ)τ ¯ (χ ¯0 )χ0 (−1)Λ(f ⊗ χ0 , 1)Λ(f ⊗ χ, 1)F (χ, χ ¯0 ) 12(N + 1)(N − 1)2 N 2 0 χ,χ

Cette somme est antissymétrique (resp. symétrique) en

0

χ (−1) = χ(−1)

(resp.

0

χ (−1) = −χ(−1)).

χ

et

χ0

lorsque

C'est pourquoi on a

< f, f >= i 6(N + 1)(N − 1)2 N 2 E(χ, χ0 ) =

X

τ (χ)τ ¯ (χ ¯0 )χ0 (−1)Λ(f ⊗χ0 , 1))Λ(f ⊗χ, 1))E(χ, χ0 ).

χ,χ0 ,χχ0 (−1)=−1

0 x∈(Z/N Z)∗ −{1} χ(−x)χ (1 − x). On reconnaît dans cette dernière expression une somme de Jacobi donnée par la formule

où

P

E(χ, χ0 ) = χ(−1)

τ (χ)τ (χ0 ) . τ (χχ0 )

On obtient donc, en tenant compte de l'imparité de

χχ0 ,

< f, f >= i 6(N + 1)(N − 1)2 N 2 Utilisons les identités

X χ,χ0 ,χχ0 (−1)=−1

τ (χ)τ (χ0 )τ (χ)τ ¯ (χ ¯0 ) Λ(f ⊗χ0 , 1)Λ(f ⊗χ, 1) 0 τ (χχ )

τ (χ)τ (χ) ¯ = χ(−1)N = −χ0 (−1)N = −τ (χ0 )τ (χ ¯0 ).

On

obtient

< f, f >=

i 6(N + 1)(N − 1)2

X χ,χ0 ,χχ0 (−1)=−1

Λ(f ⊗ χ0 , 1)Λ(f ⊗ χ, 1) . τ (χχ0 )

Cela donne la formule annoncée lorsque l'on combine avec l'identité rappelée avant l'énoncé du théorème 3

26

Loïc Merel

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